Normal Dağılım Hesaplama

İstatistikSon güncelleme: 22 Ağustos 2026

Normal (Gauss) dağılım, sürekli değişkenlerin en yaygın kullanılan olasılık modelidir: boy, ağırlık, sınav puanı, ölçüm hatası ve çok sayıda küçük etkinin toplamından oluşan hemen her büyüklük yaklaşık olarak normaldir. Çan biçimli eğri ortalama etrafında simetriktir; şeklini yalnızca iki parametre belirler — konumu veren ortalama (μ) ve yayılımı veren standart sapma (σ).

Bu araç hem ileri yönde hem ters yönde çalışır. İleri yönde bir x değeri için sol kuyruk P(X < x), sağ kuyruk P(X > x) ve seçtiğiniz [a, b] aralığının olasılığı P(a < X < b) hesaplanır; z = (x − μ)/σ dönüşümü adım adım gösterilir. Ters yönde ise verdiğiniz kümülatif olasılığa karşılık gelen x değeri (yüzdelik) bulunur. Sonuçlar gölgelendirilmiş normal eğri üzerinde de görselleştirilir.

Dağılımın merkezi. Ondalık ayırıcı olarak virgül kullanabilirsiniz.
Yayılım ölçüsü; 0'dan büyük olmalıdır. Varyans biliniyorsa karekökünü girin.
Sol ve sağ kuyruk olasılıkları bu değere göre hesaplanır.
P(a < X < b) için alt sınır. Boş bırakılırsa −∞ kabul edilir.
P(a < X < b) için üst sınır. Boş bırakılırsa +∞ kabul edilir.
P(X < x) = q eşitliğini sağlayan x aranır. Yüzde 95'lik değer için 0,95 girin.

Normal Dağılım Formülleri

Yoğunluk:        f(x) = 1 / (σ·√(2π)) · e^[−(x − μ)² / (2σ²)]
z dönüşümü:      z = (x − μ) / σ
Sol kuyruk:      P(X < x) = Φ(z)
Sağ kuyruk:      P(X > x) = 1 − Φ(z)
Aralık:          P(a < X < b) = Φ((b − μ)/σ) − Φ((a − μ)/σ)
Ters yön:        x = μ + σ · Φ⁻¹(q)
Ortalama:        E(X) = μ
Varyans:         Var(X) = σ²
Ampirik kural:   μ ± σ ≈ %68,27;  μ ± 2σ ≈ %95,45;  μ ± 3σ ≈ %99,73
Raporlama:       %95 merkezî aralık = μ ± 1,96·σ

Φ standart normal birikimli dağılım fonksiyonudur ve kapalı biçimde ifade edilemez; bu araç Φ'yi hata fonksiyonu (erf), Φ⁻¹'i ise Acklam rasyonel yaklaşımı ve bir adım Halley düzeltmesiyle hesaplar. Sonuçlar Excel'in NORM.DAĞ / NORM.TERS ve R'ın pnorm / qnorm çıktısıyla aynıdır.

Nasıl Hesaplanır?

  1. Dağılımın ortalamasını (μ) ve standart sapmasını (σ) girin; σ mutlaka 0'dan büyük olmalıdır.
  2. Olasılığını merak ettiğiniz x değerini yazın; araç z = (x − μ)/σ dönüşümünü adım adım gösterir.
  3. Aralık olasılığı için alt (a) ve üst (b) sınırları girin; birini boş bırakırsanız o yön sonsuz kabul edilir.
  4. Ters yön için kümülatif olasılığı (q) girin: P(X < x) = q eşitliğini sağlayan x değeri hesaplanır.
  5. Sol kuyruk, sağ kuyruk ve aralık olasılıklarını okuyun; gölgelendirilmiş eğrilerde bu alanları görsel olarak doğrulayın.
  6. Yüzdelik tablosundan sık kullanılan z ve x karşılıklarını alarak kesme noktalarını belirleyin.

Örnek Hesaplamalar

IQ puanı: 115'in altında kalma olasılığı

N(100; 15²) dağılımında x = 115 için z = 1,0000 bulunur. P(X < 115) = 0,8413 (%84,13), P(X > 115) = 0,1587'dir. P(85 < X < 115) = 0,6827 çıkar; bu, ampirik kuralın μ ± σ için verdiği %68,27 değeridir. Ters yönde %95'lik dilimin sınırı x = 124,6728'dir.

z skoru — z = (x − μ) / σ: 1,0000 · Sol kuyruk — P(X < 115): 0,8413 · Sağ kuyruk — P(X > 115): 0,1587

Ters yön: en yüksek %10'a giren sınav puanı

Ortalaması 65, standart sapması 12 olan bir sınavda 80 puanın z skoru 1,2500'dür ve P(X < 80) = 0,8944'tür; yani 80 puan yaklaşık %89,44'lük dilime karşılık gelir. En yüksek %10'a girmek için gereken puan q = 0,90 için x = 80,3786'dır. 60 ile 70 arasında puan alma olasılığı ise 0,3231'dir.

z skoru — z = (x − μ) / σ: 1,2500 · Sol kuyruk — P(X < 80): 0,8944 · Sağ kuyruk — P(X > 80): 0,1056

Kalite kontrol: tolerans dışı üretim oranı

Hedef ağırlığı 500 g, standart sapması 5 g olan bir dolum hattında 510 g'ın z skoru 2,0000 ve P(X > 510) = 0,0228'dir. 492–508 g toleransı içinde kalma olasılığı P(492 < X < 508) = 0,8904, yani ürünlerin %89,04'üdür; geri kalanı tolerans dışında üretilir. %99'luk sınır ise 511,6317 g'dır.

z skoru — z = (x − μ) / σ: 2,0000 · Sol kuyruk — P(X < 510): 0,9772 · Sağ kuyruk — P(X > 510): 0,0228

Sıkça Sorulan Sorular

z skoru nedir ve neden hesaplanır?
z skoru bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu gösterir: z = (x − μ)/σ. Bu dönüşüm sayesinde farklı ortalama ve standart sapmaya sahip dağılımlar aynı ölçeğe (standart normal, N(0,1)) indirgenir ve tek bir tablodan olasılık okunabilir. Pozitif z ortalamanın üstünü, negatif z altını gösterir.
P(X < x) ile P(X ≤ x) arasında fark var mı?
Sürekli dağılımlarda yoktur. Normal dağılımda tek bir noktanın olasılığı sıfırdır (P(X = x) = 0), bu yüzden eşitliği dahil etmek ya da etmemek sonucu değiştirmez. Bu fark yalnızca binom ve Poisson gibi kesikli dağılımlarda önemlidir; orada P(X ≤ k) ile P(X < k) tam olarak P(X = k) kadar farklıdır.
Excel, SPSS ve R'de normal olasılık nasıl hesaplanır?
Excel'de sol kuyruk için =NORM.DAĞ(x; μ; σ; DOĞRU), ters yön için =NORM.TERS(olasılık; μ; σ) kullanılır; standart normal için NORM.S.DAĞ ve NORM.S.TERS vardır. R'de pnorm(x, mu, sigma) ve qnorm(q, mu, sigma), Python'da scipy.stats.norm.cdf/ppf aynı sonucu verir. SPSS'te CDF.NORMAL(x, μ, σ) ve IDF.NORMAL(q, μ, σ) fonksiyonları kullanılır.
Ampirik kural (68-95-99,7) tam olarak ne söyler?
Normal dağılımda değerlerin yaklaşık %68,27'si μ ± σ, %95,45'i μ ± 2σ ve %99,73'ü μ ± 3σ aralığında yer alır. Yaygın olarak anılan %95'lik aralık aslında μ ± 2σ değil μ ± 1,96σ'dır; ikisi karıştırılmamalıdır. Bu kural yalnızca dağılım gerçekten normale yakınsa geçerlidir.
Verim normal dağılmıyorsa bu hesaplar geçerli mi?
Hayır, doğrudan geçerli olmaz. Belirgin çarpıklık, iki tepelilik ya da güçlü aykırı değerler varsa normal modelin verdiği kuyruk olasılıkları yanıltıcı olur. Önce Q-Q grafiği ve Shapiro-Wilk gibi bir normallik testiyle varsayımı kontrol edin; gerekirse dönüşüm uygulayın veya parametrik olmayan yöntemlere geçin.
Örneklem ortalamasının dağılımı için ne yapmalıyım?
Merkezî limit teoremi gereği n büyüdükçe örneklem ortalaması X̄ ≈ N(μ, σ²/n) dağılımına yaklaşır. Bu araçta ortalamanın dağılımıyla ilgileniyorsanız σ yerine standart hatayı (σ/√n) girin. Örneğin σ = 15 ve n = 25 için 15/√25 = 3 değerini standart sapma alanına yazmalısınız.
Negatif değer alamayan bir büyüklüğü normalle modelleyebilir miyim?
Normal dağılımın desteği (−∞, +∞) olduğu için teorik olarak negatif değerlere de olasılık atar. μ, σ'nın en az üç katı kadar büyükse bu olasılık ihmal edilebilir düzeydedir ve model pratikte kullanılabilir. Aksi durumda (örneğin gelir, süre, sayım verisi) log-normal, üstel veya Poisson gibi desteği sınırlı bir dağılım tercih edilmelidir.