Poisson Dağılımı Hesaplama

İstatistikSon güncelleme: 22 Ağustos 2026

Poisson dağılımı, sabit bir zaman aralığında, alanda veya hacimde birbirinden bağımsız olarak gerçekleşen nadir olayların sayısını modeller. Bir saatte gelen çağrı sayısı, bir günde meydana gelen arıza sayısı, bir metrekaredeki kusur sayısı ya da bir haftada acile başvuran belirli hasta sayısı klasik Poisson örnekleridir. Dağılımın tek parametresi vardır: birim aralıkta beklenen ortalama olay sayısı λ.

Bu araç girdiğiniz λ (ve isterseniz gözlem aralığı katsayısı t) için tam olasılık P(X = k), kümülatif olasılıklar P(X ≤ k), P(X < k), P(X ≥ k), P(X > k), seçtiğiniz [a, b] aralığının olasılığı ile dağılımın ortalaması, varyansı, standart sapması ve modunu birlikte döndürür. Poisson'un ayırt edici özelliği ortalama ile varyansın eşit olmasıdır; araç bu eşitliği açıkça gösterir ve λ büyüdüğünde normal yaklaşımın devreye girebileceğini belirtir.

Saatte 4 çağrı geliyorsa 4 girin. Ondalık ayırıcı olarak virgül kullanabilirsiniz.
Birim aralığın kaç katını gözlediğinizi yazın. 2 saatlik gözlem için 2 girin; etkin parametre λ·t olur.
Olasılığı hesaplanacak olay adedi. Negatif olmayan tam sayı olmalıdır.
P(a ≤ X ≤ b) için alt sınır. Boş bırakılırsa 0 kabul edilir.
P(a ≤ X ≤ b) için üst sınır. Boş bırakılırsa üst sınır sonsuz kabul edilir.

Poisson Dağılımı Formülleri

Kütle fonksiyonu:  P(X = k) = e⁻λ · λᵏ / k!,  k = 0, 1, 2, …
Ölçekleme:         λ_etkin = λ · t   (t birim aralık sayısı)
Kümülatif:         P(X ≤ k) = Σᵢ₌₀ᵏ e⁻λ · λⁱ / i!
Üst kuyruk:        P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1)
Aralık:            P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a − 1)
Ortalama:          μ = λ
Varyans:           σ² = λ        (ortalama = varyans)
Standart sapma:    σ = √λ
Mod:               ⌊λ⌋  (λ tam sayıysa λ − 1 ve λ)
Binom yaklaşımı:   n ≥ 20 ve p ≤ 0,05 iken Binom(n, p) ≈ Poisson(n·p)

Kümülatif olasılık P(X ≤ k) = 1 − P(k + 1, λ) düzenlenmiş eksik gamma bağıntısıyla hesaplanır; toplama döngüsü kullanılmadığı için λ büyüdüğünde de duyarlık korunur. λ ≥ 10 olduğunda dağılım N(λ, λ) ile yaklaşık temsil edilebilir.

Nasıl Hesaplanır?

  1. Birim aralıkta beklenen ortalama olay sayısını (λ) girin: saatte 4 çağrı geliyorsa 4 yazın.
  2. Gözlem aralığınız birim aralıktan farklıysa katsayıyı (t) girin; 2 saatlik gözlem için 2 yazın, araç λ·t ile hesaplar.
  3. Olasılığını merak ettiğiniz olay sayısını (k) girin.
  4. İsterseniz aralık sınırlarını (a ve b) belirleyin; üst sınırı boş bırakırsanız P(X ≥ a) hesaplanır.
  5. Tam, kümülatif ve kuyruk olasılıklarını okuyun; ardından ortalama = varyans = λ eşitliğini ve modu kontrol edin.
  6. Kütle grafiğine bakarak dağılımın çarpıklığını görün; λ büyüdükçe dağılım simetrikleşir ve normale yaklaşır.

Örnek Hesaplamalar

Saatte 4 çağrı: tam 5 çağrı gelmesi

λ = 4 iken tam 5 çağrı gelme olasılığı P(X = 5) = 0,1563'tür. En çok 5 çağrı olasılığı 0,7851; en az 5 çağrı olasılığı 0,3712'dir. P(2 ≤ X ≤ 6) = 0,7977 çıkar; ortalama ve varyans 4, standart sapma 2 ve mod 3 ile 4'tür.

Tam 5 olay — P(X = 5): 0,1563 · En çok 5 olay — P(X ≤ 5): 0,7851 · 5 değerinden az — P(X < 5): 0,6288

İki saatlik gözlem: en az 8 olay

Saatte ortalama 3 olay görülen bir süreçte 2 saatlik gözlemin etkin parametresi λ·t = 6'dır. Tam 8 olay olasılığı P(X = 8) = 0,1033; en az 8 olay olasılığı P(X ≥ 8) = 0,2560'tır. En çok 8 olay olasılığı 0,8472; ortalama ve varyans 6, standart sapma 2,4495'tir.

Tam 8 olay — P(X = 8): 0,1033 · En çok 8 olay — P(X ≤ 8): 0,8472 · 8 değerinden az — P(X < 8): 0,7440

Nadir olay: λ = 0,5 iken hiç olay görülmemesi

λ = 0,5 için hiç olay görülmeme olasılığı P(X = 0) = e⁻⁰·⁵ = 0,6065'tir. En çok 1 olay görülme olasılığı 0,9098; en az 1 olay görülme olasılığı 0,3935'tir. λ < 10 olduğu için dağılım belirgin biçimde sağa çarpıktır ve normal yaklaşım kullanılamaz.

Tam 0 olay — P(X = 0): 0,6065 · En çok 0 olay — P(X ≤ 0): 0,6065 · 0 değerinden az — P(X < 0): 0

Sıkça Sorulan Sorular

Poisson dağılımı hangi durumlarda kullanılır?
Belirli bir zaman, alan veya hacim biriminde bağımsız olarak gerçekleşen, tek tek nadir sayılabilecek olayların sayısı için kullanılır. Çağrı merkezine gelen arama sayısı, makine arıza sayısı, kumaştaki kusur sayısı ve bir kavşaktaki kaza sayısı tipik örneklerdir. Olayların bağımsız olması ve olay hızının gözlem boyunca sabit kalması gerekir.
Poisson dağılımında ortalama ile varyans neden eşittir?
Poisson dağılımı tek parametrelidir; λ hem beklenen olay sayısını hem de değişkenliği belirler. Bu nedenle μ = σ² = λ olur ve standart sapma √λ'dır. Gerçek veride varyans ortalamadan belirgin biçimde büyükse (aşırı yayılım) Poisson modeli yetersizdir; negatif binom dağılımı tercih edilmelidir.
λ birim aralık dışında bir süre için nasıl ayarlanır?
Poisson süreçlerinde parametre gözlem uzunluğuyla doğru orantılıdır: t birimlik gözlem için λ yerine λ·t kullanılır. Saatte 3 olay görülen bir süreçte 2 saatlik gözlemin parametresi 6, yarım saatlik gözlemin parametresi 1,5 olur. Araçtaki gözlem katsayısı alanı bu dönüşümü sizin için yapar.
Excel, SPSS ve R'de Poisson olasılığı nasıl hesaplanır?
Excel'de tam olasılık için =POISSON.DAĞ(k; λ; YANLIŞ), kümülatif için =POISSON.DAĞ(k; λ; DOĞRU) kullanılır. R'de dpois(k, lambda) ve ppois(k, lambda), Python'da scipy.stats.poisson.pmf/cdf aynı sonucu verir. SPSS'te PDF.POISSON(k, λ) ve CDF.POISSON(k, λ) fonksiyonları bulunur.
Binom dağılımı ne zaman Poisson ile değiştirilebilir?
Deneme sayısı büyük ve başarı olasılığı küçükken (yaygın ölçüt n ≥ 20 ve p ≤ 0,05 ya da n ≥ 100 ve n·p ≤ 10) binom dağılımı λ = n·p parametreli Poisson ile çok iyi yaklaşılır. Bu, elle hesabı büyük ölçüde kolaylaştırır: kombinasyon hesaplamak yerine tek bir üstel terim yeterlidir. Yaklaşımın hatası n büyüdükçe küçülür.
λ büyüdüğünde normal yaklaşım kullanılabilir mi?
Evet. λ ≥ 10 olduğunda Poisson dağılımı N(λ, λ) normal dağılımıyla makul biçimde temsil edilir; bazı kaynaklar bu sınırı 20 olarak alır. Kesikli bir dağılımı sürekli bir dağılımla değiştirdiğiniz için süreklilik düzeltmesi (±0,5) uygulanmalıdır. Bu araç yaklaşıma ihtiyaç duymadan tam değeri verdiği için yaklaşım yalnızca elle hesapta anlamlıdır.
Poisson dağılımında olasılıkların toplamı neden 1 etmiyor?
Poisson dağılımının desteği sonsuzdur: k = 0, 1, 2, … şeklinde üst sınır yoktur. Tabloda ve grafikte yalnızca olasılığın neredeyse tamamını kapsayan bir pencere gösterilir; pencerenin dışındaki kuyruk olasılığı notlarda ayrıca belirtilir. Matematiksel olarak tüm k değerleri toplandığında sonuç tam olarak 1'dir.