Binom Dağılımı Hesaplama
Binom dağılımı, birbirinden bağımsız n denemede elde edilen başarı sayısını modelleyen kesikli olasılık dağılımıdır. Her denemede yalnızca iki sonuç bulunur (başarı/başarısızlık) ve başarı olasılığı p her denemede aynı kalır: 20 üründen kaçının kusurlu çıkacağı, 10 atışta kaç tura geleceği, 50 hastadan kaçının tedaviye yanıt vereceği bu dağılımla hesaplanır.
Bu araç tek bir k değeri için P(X = k) olasılığını verdikten sonra kümülatif olasılıkları (P(X ≤ k), P(X < k), P(X ≥ k), P(X > k)), istediğiniz [a, b] aralığının olasılığını, dağılımın ortalamasını (n·p), varyansını (n·p·(1−p)), standart sapmasını ve modunu birlikte döndürür. Ayrıca np ≥ 5 ve n(1−p) ≥ 5 ölçütünü denetleyerek normal yaklaşımın bu parametrelerde kullanılıp kullanılamayacağını söyler.
Binom Dağılımı Formülleri
Kütle fonksiyonu: P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, k = 0, 1, …, n Kombinasyon: C(n, k) = n! / [k! · (n − k)!] Kümülatif: P(X ≤ k) = Σᵢ₌₀ᵏ C(n, i) · pⁱ · (1 − p)ⁿ⁻ⁱ Üst kuyruk: P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1) Aralık: P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a − 1) Ortalama: μ = n · p Varyans: σ² = n · p · (1 − p) Standart sapma: σ = √[n · p · (1 − p)] Mod: ⌊(n + 1) · p⌋ Normal yaklaşım: n·p ≥ 5 ve n·(1 − p) ≥ 5 ise X ≈ N(n·p, n·p·(1 − p))
Kümülatif olasılıklar toplama döngüsü yerine düzenlenmiş eksik beta fonksiyonuyla (I₁₋ₚ(n − k, k + 1)) hesaplanır; bu sayede n çok büyük olduğunda da sonuç kesin ve hızlıdır. Normal yaklaşım yalnızca elle hesap içindir — bu araç her durumda tam binom değerini verir.
Nasıl Hesaplanır?
- Deneme sayısını (n) girin: birbirinden bağımsız kaç kez tekrar yapıldığını yazın.
- Tek denemede başarı olasılığını (p) 0 ile 1 arasında girin; yüzde 30 için 0,3 yazın.
- Olasılığını merak ettiğiniz başarı sayısını (k) girin.
- İsterseniz aralık sınırlarını (a ve b) belirleyin; araç P(a ≤ X ≤ b) değerini de hesaplar.
- Sonuç kartında tam, kümülatif ve kuyruk olasılıklarını; ardından ortalama, varyans, standart sapma ve modu okuyun.
- Normal yaklaşım ölçütünü ve kütle grafiğini inceleyerek dağılımın biçimini ve simetrisini değerlendirin.
Örnek Hesaplamalar
20 denemede 6 başarı
n = 20 ve p = 0,3 iken tam 6 başarı olasılığı P(X = 6) = 0,1916 çıkar. En çok 6 başarı olasılığı 0,6080; en az 6 başarı olasılığı 0,5836 olarak bulunur. Ortalama 6 başarı, standart sapma 2,0494 ve P(4 ≤ X ≤ 8) = 0,7796 hesaplanır. n·p = 6 ve n·(1−p) = 14 olduğu için normal yaklaşım da uygundur.
Tam 6 başarı — P(X = 6): 0,1916 · En çok 6 başarı — P(X ≤ 6): 0,6080 · 6 değerinden az — P(X < 6): 0,4164
Kalite kontrol: 50 üründe hiç kusurlu çıkmaması
Kusur oranı %2 olan bir üretimden 50 ürün seçildiğinde hiç kusurlu çıkmama olasılığı P(X = 0) = 0,3642 olur. En az bir kusurlu bulma olasılığı P(X > 0) = 0,6358; en çok 1 kusurlu bulma olasılığı P(0 ≤ X ≤ 1) = 0,7358 çıkar. Ortalama 1 kusurlu ürün beklenir; n·p = 1 < 5 olduğu için normal yaklaşım uygun değildir ve araç uyarı verir.
Tam 0 başarı — P(X = 0): 0,3642 · En çok 0 başarı — P(X ≤ 0): 0,3642 · 0 değerinden az — P(X < 0): 0
10 atışta tura sayısı
Hilesiz parayla 10 atışta tam 5 tura gelme olasılığı P(X = 5) = 0,2461 çıkar. 4 ile 6 arasında tura gelme olasılığı P(4 ≤ X ≤ 6) = 0,6562 olarak hesaplanır. Dağılım p = 0,5 için simetriktir: ortalama 5, standart sapma 1,5811 ve mod 5 olur.
Tam 5 başarı — P(X = 5): 0,2461 · En çok 5 başarı — P(X ≤ 5): 0,6230 · 5 değerinden az — P(X < 5): 0,3770