Otokorelasyon Hesaplama (ACF ve PACF)

İstatistikSon güncelleme: 22 Ağustos 2026

Otokorelasyon, bir zaman serisinin kendi geçmiş değerleriyle ne kadar ilişkili olduğunu ölçer. Gecikme k için hesaplanan r_k katsayısı, seriyi k dönem kaydırıp kendisiyle korelasyonunu almaya karşılık gelir; tüm gecikmelerdeki değerler birlikte otokorelasyon fonksiyonunu (ACF) oluşturur.

Kısmi otokorelasyon (PACF) ise aradaki gecikmelerin etkisi arındırıldıktan sonra kalan doğrudan ilişkiyi verir. Bu araç ACF ve PACF değerlerini, Bartlett standart hatalarını, güven bantlarını ve beyaz gürültü sınırını hesaplar; Ljung-Box portmanto sınamasıyla serinin rastgele olup olmadığını sınar ve ARIMA modellerinde AR ile MA derecelerinin nasıl okunacağını gösterir.

Değerleri dönem sırasına göre girin (en eski önce). Seri eşit aralıklı ve eksiksiz olmalıdır.
Kaç gecikmeye kadar hesaplanacağı. Yaygın kural: n/4'ü aşmamak.
ACF ve PACF durağanlık varsayar. Trendli seride birinci fark almak, trendin yarattığı yavaş azalan otokorelasyonu temizler.
Aralığın gerçek parametreyi kapsama olasılığı.

ACF, PACF ve Ljung-Box Formülleri

Otokorelasyon:   r_k = Σₜ₌ₖ₊₁ⁿ (yₜ − ȳ)(yₜ₋ₖ − ȳ) / Σₜ₌₁ⁿ (yₜ − ȳ)²
Beyaz gürültü:   ±z(1−α/2) / √n
Bartlett SH:     SH(r_k) ≈ √((1 + 2·Σⱼ₌₁ᵏ⁻¹ rⱼ²) / n)
PACF (Durbin-Levinson):
  φ₁₁ = r₁
  φ_kk = (r_k − Σⱼ φ_{k−1,j}·r_{k−j}) / (1 − Σⱼ φ_{k−1,j}·rⱼ)
  φ_kj = φ_{k−1,j} − φ_kk·φ_{k−1,k−j}
PACF bandı:      ±z(1−α/2) / √n   (Quenouille)
Ljung-Box:       Q = n(n + 2)·Σₖ₌₁ᵐ r_k² / (n − k),  df = m
Birinci fark:    Δyₜ = yₜ − yₜ₋₁

ACF paydası tüm gözlemler üzerinden alınır (yanlı ama pozitif tanımlı standart tahminci); bu nedenle büyük gecikmelerde r_k sistematik olarak sıfıra kayar. Ljung-Box'ta H₀ ilk m gecikmenin tümünde otokorelasyonun sıfır olmasıdır; p < 0,05 ise seri beyaz gürültü değildir.

Nasıl Hesaplanır?

  1. Zaman serisi değerlerinizi dönem sırasına göre (en eski önce) girin.
  2. En büyük gecikmeyi belirleyin; yaygın kural gözlem sayısının dörtte birini aşmamaktır.
  3. Seride belirgin bir trend varsa birinci fark seçeneğini açın; ACF ve PACF durağan seri varsayar.
  4. Güven düzeyini seçin ve ACF ile PACF çubuklarını bant sınırlarıyla karşılaştırın.
  5. Tabloda hangi gecikmelerin bandı aştığını okuyun; Ljung-Box p değeriyle serinin bütününde bağımlılık olup olmadığını sınayın.
  6. PACF'in kesildiği gecikme AR derecesini, ACF'in kesildiği gecikme MA derecesini önerir; ikisi de yavaş sönüyorsa karma ARMA yapısını değerlendirin.

Örnek Hesaplamalar

Trendli ve iki dönemlik salınımlı seri

24 gözlemli seride beyaz gürültü bandı ±0,4001'dir. Birinci gecikme otokorelasyonu r₁ = 0,2197 ile bandın içinde kalırken en büyük değer 2. gecikmede 0,8249'a ulaşır: iki dönemlik düzenli salınım kendini çift gecikmelerde gösterir ve Bartlett bandını aşan gecikmeler 2 ile 4 olur. Ljung-Box Q(10) = 48,907 ve p < 0,001 olduğundan seri beyaz gürültü değildir.

Birinci gecikme otokorelasyonu r₁: 0,2197 · Anlamlı ACF gecikmeleri: 2, 4 · Anlamlı PACF gecikmeleri: 2, 3

Aynı seride birinci fark

Birinci fark alındığında 23 gözlem kalır ve bant ±0,4087'ye genişler. r₁ = -0,9610 ile çok güçlü negatif otokorelasyon ortaya çıkar; PACF birinci gecikmede -0,9610 ile bandı aşar, ikinci gecikmede φ₂₂ = -0,1366 ile bandın içine döner. Ljung-Box Q(10) = 185,809 ve p < 0,001: fark alınmış seri de bağımsız değildir, çünkü iki dönemlik salınım farkta işaret değiştiren bir yapıya dönüşür.

Birinci gecikme otokorelasyonu r₁: -0,9610 · Anlamlı ACF gecikmeleri: 1, 2 · Anlamlı PACF gecikmeleri: 1

Beyaz gürültü davranışı gösteren ölçüm serisi

20 gözlemli kısa seride bant ±0,4383 gibi geniş bir aralıktır. r₁ = -0,2612 ve r₂ = -0,0577 değerlerinin hiçbiri bandı aşmaz; ne ACF ne de PACF'te anlamlı gecikme vardır, bu yüzden önerilen AR ve MA dereceleri 0 çıkar. Ljung-Box Q(5) = 2,897 ve p = 0,716 olduğundan beyaz gürültü varsayımı reddedilemez: bu seri için gecikmeli bir model kurmak gerekmez.

Birinci gecikme otokorelasyonu r₁: -0,2612 · Anlamlı ACF gecikmeleri: Yok · Anlamlı PACF gecikmeleri: Yok

Sıkça Sorulan Sorular

ACF ile PACF arasındaki fark nedir?
ACF, seriyi k dönem kaydırıp kendisiyle korelasyonunu verir ve aradaki gecikmelerin dolaylı etkisini içinde barındırır. PACF ise 1'den k−1'e kadar olan gecikmelerin etkisi arındırıldıktan sonra kalan doğrudan ilişkiyi ölçer. Örneğin AR(1) sürecinde r₂ sıfırdan farklı çıkar (çünkü etki birinci gecikme üzerinden taşınır) ama φ₂₂ sıfıra yakındır.
Bir gecikmenin anlamlı olduğunu nasıl anlarım?
Katsayının mutlak değeri güven bandını aşıyorsa o gecikmedeki otokorelasyon sıfırdan farklı sayılır. Bu araçta iki bant verilir: tümüyle ilişkisiz seri varsayımına dayanan sabit ±z/√n beyaz gürültü sınırı ve gecikmeyle birlikte genişleyen Bartlett bandı. Grafiklerde klasik olarak beyaz gürültü sınırı çizilir, tablodaki karar ise her gecikme için Bartlett bandına göre verilir.
Trendli seride ACF neden hep yüksek çıkıyor?
Çünkü ACF durağanlık varsayar: ortalamanın zamanla değişmediği kabul edilir. Trend varken her gözlem ortalamanın aynı tarafında uzun süre kaldığı için tüm gecikmelerde yüksek pozitif ve yavaş azalan bir ACF görülür. Bu, gerçek bir bağımlılık yapısı değil trendin yansımasıdır; birinci fark alarak veya trendi arındırarak analiz tekrarlanmalıdır.
Ljung-Box testi ne söyler?
Tek tek gecikmelere bakmak yerine ilk m gecikmedeki otokorelasyonların tümünün birlikte sıfır olup olmadığını sınar; böylece çoklu karşılaştırma sorununu azaltır. p değeri 0,05'in altındaysa seri beyaz gürültü değildir, yani modellenebilecek bir yapı taşır. Model kurulduktan sonra aynı test artıklara uygulanır: bu kez p'nin büyük çıkması istenir, çünkü artıkların rastgele olması beklenir.
ACF ve PACF'ten ARIMA derecesi nasıl seçilir?
Klasik Box-Jenkins okuması şöyledir: PACF p. gecikmeden sonra aniden kesilip ACF yavaşça sönüyorsa AR(p); ACF q. gecikmeden sonra kesilip PACF yavaşça sönüyorsa MA(q); ikisi de yavaşça sönüyorsa ARMA(p, q). Fark alma derecesi d ise ACF'in yavaş azalıp azalmadığına bakılarak belirlenir. Bu okuma bir başlangıç noktasıdır; nihai model AIC ve BIC ölçütleriyle karşılaştırılarak seçilir.
Mevsimselliği ACF'ten görebilir miyim?
Evet, mevsimsellik ACF'in en kolay okunan işaretlerinden biridir. Periyot p ise p, 2p, 3p gecikmelerinde belirgin tepeler oluşur; aylık veride 12, 24, 36 gecikmeleri, çeyreklik veride 4, 8, 12 gecikmeleri öne çıkar. Bu tepeleri gördükten sonra mevsimsel ayrıştırma yaparak indeksleri hesaplamak doğal bir sonraki adımdır.
Kaç gözleme ve kaç gecikmeye ihtiyaç var?
Bartlett ve Quenouille yaklaşımları büyük örneklem sonuçlarıdır; kabaca n ≥ 50 için güvenilir kabul edilir. Daha kısa serilerde bantlar dar çıkar ve yanlış pozitif riski artar, bu yüzden sonuçlar temkinli yorumlanmalıdır. Gecikme sayısı için yaygın kural k ≤ n/4'tür; daha büyük gecikmelerde katsayılar sıfıra doğru kayar ve kararsızlaşır.