Ki-Kare Dağılımı Hesaplama

İstatistikSon güncelleme: 22 Ağustos 2026

Ki-kare (χ²) dağılımı, k adet bağımsız standart normal değişkenin karelerinin toplamının dağılımıdır. Sıfırdan başlayan, sağa çarpık ve yalnızca serbestlik derecesine bağlı sürekli bir dağılımdır. Gözlenen ile beklenen frekansların uyumunu ölçen bütün testler (bağımsızlık testi, uygunluk testi, homojenlik testi), varyans için kurulan güven aralıkları ve olabilirlik oranı testleri bu dağılıma dayanır.

Bu araç iki yönde de çalışır: elinizde bir χ² istatistiği ve serbestlik derecesi varsa üst kuyruktaki kesin p değerini verir; bir anlamlılık düzeyi verirseniz tabloya bakmadan kritik χ² değerini üretir. Sonuçta üst ve alt kuyruk olasılıkları, karar cümlesi, dağılımın ortalaması (k), varyansı (2k), modu ve medyanı, varyans güven aralıklarında kullanılan çift yönlü kritik değer çifti ve reddetme bölgesi gölgelenmiş yoğunluk eğrisi birlikte sunulur.

Elinizde χ² istatistiği varsa birinci, tablo değeri arıyorsanız ikinci seçeneği kullanın.
Ki-kare istatistiği negatif olamaz. Ondalık için virgül kullanabilirsiniz.
Bağımsızlık testinde (satır − 1)·(sütun − 1); uygunluk testinde kategori sayısı − 1; varyans aralığında n − 1.
Yanlış pozitif riskini belirler. Sosyal bilimlerde yaygın seçim %5'tir.

Ki-Kare Dağılımı Formülleri

Tanım:          X = Z₁² + Z₂² + … + Zₖ²,  Zᵢ ~ N(0,1) bağımsız
Yoğunluk:       f(x) = x^(k/2 − 1)·e^(−x/2) / [2^(k/2)·Γ(k/2)],  x > 0
Birikimli:      F(x) = P(k/2, x/2)   (düzenlenmiş alt eksik gamma)
p değeri:       p = 1 − F(χ²)        (daima sağ kuyruk)
Kritik değer:   χ²₍₁−α; ₖ₎
Ortalama:       E(X) = k
Varyans:        Var(X) = 2k          Standart sapma: σ = √(2k)
Mod:            k − 2  (k ≥ 2);  k < 2 iken tepe x = 0'dadır
Çarpıklık:      γ₁ = √(8/k)          Basıklık (fazlalık): γ₂ = 12/k
Test istatistiği: χ² = Σ (Gözlenen − Beklenen)² / Beklenen

Ki-kare dağılımı, şekil parametresi k/2 ve ölçek parametresi 2 olan gamma dağılımının özel hâlidir. k = 2 iken ortalaması 2 olan üstel dağılıma indirgenir. k büyüdükçe (kabaca k > 50) dağılım N(k, 2k) ile iyi yaklaşıklanır.

Nasıl Hesaplanır?

  1. Hesaplama yönünü seçin: elinizde χ² istatistiği varsa "χ² → p", tablo değeri arıyorsanız "α → χ²".
  2. Serbestlik derecesini girin: bağımsızlık testinde (satır − 1)·(sütun − 1), uygunluk testinde kategori sayısı − 1.
  3. "χ² → p" modunda test istatistiğinin değerini yazın; ki-kare istatistiği negatif olamaz.
  4. Anlamlılık düzeyini (α) seçin; kritik değer ve karar bu seçime göre üretilir.
  5. Üst kuyruk p değerini kritik değerle birlikte okuyun: p < α ile χ² > kritik değer koşulları her zaman aynı kararı verir.
  6. Ortalama (k), varyans (2k), mod ve medyanı karşılaştırarak dağılımın ne kadar çarpık olduğunu görün.

Örnek Hesaplamalar

χ²(6) = 15,2 için üst kuyruk p

6 serbestlik dereceli bir ki-kare testinde χ² = 15,2 için üst kuyruk p = 0,019 bulunur. α = 0,05 düzeyindeki kritik değer 12,592 olduğundan 15,2 > 12,592 ve sonuç istatistiksel olarak anlamlıdır. Dağılımın ortalaması 6, varyansı 12, modu 4 ve medyanı 5,348'dir.

Üst kuyruk p değeri: p = 0,019 · Karar: Anlamlı · χ² istatistiği: 15,2000

α = 0,05 ve k = 3 için kritik değer

3 serbestlik derecesinde %5 anlamlılık düzeyinin kritik ki-kare değeri 7,815'tir; klasik ki-kare tablosunun 0,05 sütunundaki değerle aynıdır. Reddetme kuralı χ² > 7,815 biçimindedir. Varyans güven aralıklarında kullanılan çift yönlü kritik değerler ise 0,216 ve 9,348'dir.

Kritik χ² değeri: 7,8147 · Reddetme kuralı: χ² > 7,815 · χ² istatistiği: 7,8147

Anlamsız sonuç: χ²(4) = 3,2

4 serbestlik dereceli testte χ² = 3,2 için p = 0,525 çıkar; kritik değer 9,488 olduğundan 3,2 < 9,488 ve sonuç anlamlı değildir. Gözlenen frekanslar beklenen frekanslara oldukça yakındır — istatistik ortalama olan 4'ün bile altındadır.

Üst kuyruk p değeri: p = 0,525 · Karar: Anlamlı değil · χ² istatistiği: 3,2000

Sıkça Sorulan Sorular

Ki-kare dağılımında p değeri neden hep sağ kuyruktan hesaplanıyor?
χ² istatistiği (Gözlenen − Beklenen)² / Beklenen terimlerinin toplamıdır; kare alındığı için sapmanın yönü kaybolur ve her yöndeki uyumsuzluk istatistiği büyütür. Bu yüzden 'uyumsuzluk kanıtı' daima büyük χ² değerlerindedir ve p, sağ kuyruktaki alanla ölçülür. Sol kuyruk yalnızca varyans güven aralıklarında ve verinin beklenene 'fazla iyi' uyduğu şüphesini sınamada kullanılır.
Serbestlik derecesini nasıl belirlerim?
Bağımsızlık ve homojenlik testlerinde (satır sayısı − 1) × (sütun sayısı − 1) kullanılır; 3×4 bir tabloda k = 2 × 3 = 6 olur. Uygunluk testinde kategori sayısı − 1'dir; ancak dağılımın parametreleri veriden tahmin edildiyse her tahmin için bir serbestlik derecesi daha düşülür. Tek örneklem varyans aralığında k = n − 1'dir.
Excel, SPSS ve R'da ki-kare olasılığı nasıl hesaplanır?
Excel'de `=KİKARE.DAĞ.SAĞK(x; k)` üst kuyruk p'yi, `=KİKARE.TERS.SAĞK(α; k)` kritik değeri verir. R'da `pchisq(x, df, lower.tail = FALSE)` ve `qchisq(1 - alpha, df)` kullanılır. Python'da `scipy.stats.chi2.sf(x, k)` ve `scipy.stats.chi2.ppf(1 - alpha, k)` aynı sonuçları üretir. SPSS Crosstabs çıktısındaki "Asymptotic Significance (2-sided)" sütunu bu üst kuyruk p değeridir.
Ki-kare dağılımı ile normal dağılım arasındaki ilişki nedir?
Ki-kare dağılımı doğrudan normalden türer: k bağımsız standart normal değişkenin kareleri toplanarak elde edilir. k = 1 için χ² = Z²'dir, bu yüzden χ²(1) kritik değeri 3,841 tam olarak z kritik değeri 1,96'nın karesidir. Ters yönde, k büyüdükçe merkezi limit teoremi gereği χ²(k) dağılımı N(k, 2k) ile yaklaşıklanabilir hâle gelir.
Ortalama k, mod ise k − 2 — bu neden böyle?
Ki-kare dağılımı sağa çarpıktır: sağ kuyrukta uzanan büyük değerler ortalamayı yukarı çeker, bu yüzden ortalama (k) modun (k − 2) ve medyanın üzerindedir. Üç ölçü arasındaki fark küçük serbestlik derecelerinde belirgindir; k arttıkça çarpıklık √(8/k) formülüyle azaldığı için birbirlerine yaklaşır ve dağılım simetrikleşir.
Ki-kare testinin varsayımları nelerdir?
Gözlemler bağımsız olmalı, her denek yalnızca bir hücreye düşmeli ve beklenen frekanslar yeterince büyük olmalıdır. Yaygın kural: hiçbir hücrede beklenen frekans 1'in altına inmemeli, hücrelerin en fazla %20'sinde 5'in altında olmalıdır. 2×2 tablolarda bu koşul sağlanmazsa Fisher kesin testi kullanılır. Ayrıca ki-kare testi ilişkinin GÜCÜNÜ ölçmez; bunun için Cramér V veya phi katsayısı raporlanmalıdır.