t Dağılımı Hesaplama

İstatistikSon güncelleme: 22 Ağustos 2026

Student t dağılımı, kitle standart sapması bilinmediğinde ve onun yerine örneklem standart sapması kullanıldığında ortaya çıkan simetrik, çan biçimli bir dağılımdır. Normal dağılıma benzer ama kuyrukları daha kalındır: küçük örneklemlerde s'nin σ'yı tahmin etmesinden doğan ek belirsizlik bu kalın kuyruklarla hesaba katılır. Tek örneklem t testi, bağımsız ve eşleştirilmiş örneklem t testleri, regresyon katsayılarının anlamlılığı ve ortalama için güven aralıkları hep bu dağılıma dayanır.

Bu araç iki yönde de çalışır: elinizde bir t istatistiği ve serbestlik derecesi varsa kesin p değerini (tek ve çift kuyruk ayrı ayrı) verir; elinizde bir anlamlılık düzeyi varsa t tablosuna bakmadan kritik t değerini üretir. Sonuçta kuyruk olasılıkları, karar cümlesi, APA biçiminde raporlama satırı, serbestlik derecesine göre kritik değer tablosu ve reddetme bölgesi gölgelenmiş yoğunluk eğrisi birlikte sunulur.

Elinizde t istatistiği varsa birinci, tablo değeri arıyorsanız ikinci seçeneği kullanın.
Testten elde ettiğiniz t değeri. Negatif olabilir; ondalık için virgül kullanabilirsiniz.
Tek örneklemde n − 1, bağımsız iki örneklemde n₁ + n₂ − 2; Welch düzeltmesinde ondalıklı olabilir.
Yönlü hipotez ancak farkın yönü önceden gerekçelendirilebiliyorsa seçilmelidir.
Yanlış pozitif riskini belirler. Sosyal bilimlerde yaygın seçim %5'tir.

Student t Dağılımı Formülleri

Yoğunluk:      f(t) = Γ((ν+1)/2) / [√(νπ)·Γ(ν/2)] · (1 + t²/ν)^(−(ν+1)/2)
Tanım:         T = Z / √(χ²ᵥ / ν),  Z ~ N(0,1) ve χ²ᵥ bağımsız
Çift kuyruk p: p = 2 · [1 − F(|t|)]
Sağ kuyruk p:  p = 1 − F(t)          Sol kuyruk p: p = F(t)
Kritik değer:  çift yönlü t₍₁−α/₂; ᵥ₎; tek yönlü t₍₁−α; ᵥ₎
Ortalama:      E(T) = 0        (ν > 1)
Varyans:       Var(T) = ν / (ν − 2)   (ν > 2)
Test istatistiği (tek örneklem): t = (x̄ − μ₀) / (s / √n),  ν = n − 1
Yakınsama:     ν → ∞ iken t(ν) → N(0, 1)

ν (nu) serbestlik derecesidir. Varyans ν/(ν−2) formülü gereği daima 1'den büyüktür; bu, t dağılımının normalden daha yayvan olmasının sayısal karşılığıdır. ν ≤ 2 iken varyans sonlu değildir, ν ≤ 1 iken ortalama bile tanımsızdır (Cauchy durumu).

Nasıl Hesaplanır?

  1. Hesaplama yönünü seçin: elinizde t istatistiği varsa "t → p", tablo değeri arıyorsanız "α → t".
  2. Serbestlik derecesini girin: tek örneklem t testinde n − 1, bağımsız iki örneklemde n₁ + n₂ − 2.
  3. "t → p" modunda test istatistiğinin değerini yazın; negatif değerler kabul edilir.
  4. Hipotez yönünü belirleyin: yön öngörünüz yoksa çift yönlü seçenek standarttır.
  5. Anlamlılık düzeyini (α) seçin; sonuçtaki karar ve kritik değer bu seçime göre üretilir.
  6. Kuyruk olasılıklarını, kritik değer tablosunu ve gölgeli reddetme bölgesini birlikte inceleyerek kararı doğrulayın.

Örnek Hesaplamalar

t(28) = 2,31 için çift kuyruklu p

28 serbestlik dereceli bir t testinde t = 2,31 için çift kuyruklu p = 0,028 bulunur. α = 0,05 düzeyindeki kritik değer 2,048 olduğundan |2,31| > 2,048 ve sonuç istatistiksel olarak anlamlıdır. Aynı olasılık için normal dağılım kritik değeri 1,960'tır; aradaki 0,088'lik fark küçük örneklem düzeltmesidir.

çift kuyruklu p değeri: p = 0,028 · Karar: Anlamlı · t istatistiği: 2,3100

α = 0,05 ve df = 15 için kritik t

15 serbestlik derecesinde çift yönlü %5 anlamlılık düzeyinin kritik t değeri 2,131'dir; klasik t tablosunun 0,025 sütunundaki değerle aynıdır. Reddetme kuralı |t| > 2,131 biçimindedir. Varyans 15/13 = 1,154 olup normalin 1 değerinden büyüktür.

Kritik t değeri: 2,1314 · Reddetme kuralı: |t| > 2,131 · t istatistiği: 2,1314

Tek yönlü test: t(9) = 1,75

9 serbestlik dereceli sağ kuyruklu bir testte t = 1,75 için p = 0,057 bulunur. Kritik değer 1,833 olduğu ve 1,75 < 1,833 kaldığı için sonuç α = 0,05 düzeyinde anlamlı değildir. Çift kuyruklu değerlendirmede p = 0,114'e çıkardı — yön seçiminin kararı nasıl etkilediğinin açık bir örneğidir.

sağ kuyruklu p değeri: p = 0,057 · Karar: Anlamlı değil · t istatistiği: 1,7500

Sıkça Sorulan Sorular

Serbestlik derecesi arttıkça t dağılımı neden normale yakınsar?
t istatistiğinin paydasındaki s, σ'nın tahminidir ve bu tahminin kendisi de örneklemden örnekleme değişir. Bu ek değişkenlik dağılımın kuyruklarını kalınlaştırır. Örneklem büyüdükçe s giderek σ'ya yaklaşır, ek belirsizlik azalır ve dağılım N(0,1)'e yakınsar. Sayısal olarak varyans ν/(ν−2) formülüyle 1'e iner: ν = 10'da 1,25; ν = 30'da 1,071; ν = 120'de 1,017. Kritik değer de aynı hızla düşer: %5 çift yönlü için ν = 10'da 2,228, ν = 30'da 2,042, ν = 120'de 1,980, sonsuzda 1,960.
Kaç serbestlik derecesinden sonra z kullanabilirim?
Uygulamada df ≥ 30 sınırı yaygın bir kuraldır; bu noktada kritik değer farkı yaklaşık %4'tür (2,042'ye karşı 1,960). Ancak doğru olan her zaman t kullanmaktır: hesap yükü aynıdır ve t, df büyüdükçe kendiliğinden z'ye yakınsar. Yalnızca kitle standart sapması σ gerçekten biliniyorsa z kullanılır — bu, uygulamada nadiren karşılaşılan bir durumdur.
Excel, SPSS ve R'da t dağılımı nasıl hesaplanır?
Excel'de `=T.DAĞ.2K(|t|; df)` çift kuyruklu p'yi, `=T.DAĞ.SAĞK(t; df)` sağ kuyruğu ve `=T.TERS.2K(α; df)` çift yönlü kritik değeri verir. R'da `pt(t, df)`, `2*pt(-abs(t), df)` ve `qt(1-alpha/2, df)` kullanılır. Python'da `scipy.stats.t.sf(abs(t), df)*2` ve `scipy.stats.t.ppf(1-alpha/2, df)` aynı sonuçları üretir. SPSS t testi çıktısında "Sig. (2-tailed)" sütunu doğrudan çift kuyruklu p değeridir.
t dağılımı ile normal dağılımın kritik değerleri neden farklı?
İkisi de 0 etrafında simetriktir, ancak t dağılımının kuyrukları daha kalın olduğu için aynı kuyruk olasılığını yakalamak üzere daha uzağa gitmek gerekir. Bu nedenle t kritik değeri z'den daima büyüktür ve bu fark küçük örneklemde çarpıcı boyuta ulaşır: df = 1 iken çift yönlü %5 kritik değeri 12,706, df = 2 iken 4,303'tür. Küçük örneklemde z kullanmak I. tür hatayı ciddi biçimde artırır.
Welch testinde serbestlik derecesi neden ondalıklı çıkıyor?
Varyansların eşit olmadığı iki örneklem karşılaştırmasında Welch-Satterthwaite yaklaşımı, iki grubun varyanslarını ve örneklem büyüklüklerini birleştirerek etkin bir serbestlik derecesi üretir; bu değer genellikle tam sayı olmaz (ör. 23,47). t dağılımı ν > 0 olan her gerçel sayı için tanımlıdır, bu yüzden ondalıklı df sorun değildir. Bu araç ondalıklı df değerlerini olduğu gibi kabul eder.
df = 1 olduğunda ne oluyor?
ν = 1 iken t dağılımı standart Cauchy dağılımına eşittir: ortalaması ve varyansı tanımsızdır, kuyrukları o kadar kalındır ki ortalamanın kendisi bile yakınsamaz. Bu durumda kritik değerler devasa büyür (çift yönlü %5 için 12,706) ve neredeyse hiçbir sonuç anlamlı çıkmaz. Uygulamada df = 1, örneklem büyüklüğünün analiz için yetersiz olduğunun işaretidir.
p değeri anlamlı çıktı; bu etkinin büyük olduğu anlamına gelir mi?
Hayır. p değeri hem etkinin büyüklüğüne hem de örneklem büyüklüğüne bağlıdır; yeterince büyük bir örneklemde önemsiz bir fark bile anlamlı çıkabilir. Bu yüzden t testi sonuçları Cohen d gibi bir etki büyüklüğü ölçüsü ve ortalama farkının güven aralığıyla birlikte raporlanmalıdır. APA 7, kesin p değerinin yanında etki büyüklüğünün de verilmesini şart koşar.