Düzgün Dağılım Hesaplama

İstatistikSon güncelleme: 22 Ağustos 2026

Sürekli düzgün (uniform) dağılım, bir [a, b] aralığındaki her noktanın eşit olasılıkla ortaya çıktığı en yalın sürekli dağılımdır. Yoğunluk eğrisi bir dikdörtgendir; bu nedenle herhangi bir alt aralığın olasılığı, o aralığın uzunluğunun toplam genişliğe oranından ibarettir. Otobüsün rastgele bir anda gelmesi, bir ölçüm cihazının yuvarlama hatası, bir yazılımın ürettiği rastgele sayı ya da belirsiz bir sürenin en kötü/en iyi durum arasında eşit dağılması bu modele uyar.

Bu araç a ve b sınırlarından yoğunluğu (1/(b−a)), iki değer arasındaki olasılığı, alt ve üst kuyruk olasılıklarını, ortalamayı, varyansı, standart sapmayı, medyanı, çeyrekleri ve istediğiniz kantili birlikte hesaplar. Aralık sınırları desteğin dışına taşarsa otomatik olarak kırpılır ve bu durum uyarı olarak bildirilir. Simülasyon çalışmalarında, Monte Carlo kurulumlarında ve olasılık derslerinin ilk haftalarında en çok başvurulan hesaplardan biridir.

Dağılımın başladığı değer.
Dağılımın bittiği değer; a'dan kesin olarak büyük olmalıdır.
P(x₁ < X < x₂) olasılığının alt ucu. a'dan küçükse a'ya kırpılır.
P(x₁ < X < x₂) olasılığının üst ucu. b'den büyükse b'ye kırpılır.
Verilirse F(xq) = q koşulunu sağlayan xq değeri hesaplanır.

Sürekli Düzgün Dağılım Formülleri

Yoğunluk:        f(x) = 1 / (b − a),  a ≤ x ≤ b  (dışında 0)
Birikimli:       F(x) = (x − a) / (b − a),  a ≤ x ≤ b
Aralık:          P(x₁ < X < x₂) = (x₂ − x₁) / (b − a)
Ortalama:        μ = (a + b) / 2
Varyans:         σ² = (b − a)² / 12
Standart sapma:  σ = (b − a) / √12
Medyan:          m = (a + b) / 2  (ortalamayla aynı)
Kantil:          x(q) = a + q·(b − a)
Çarpıklık:       γ₁ = 0        Basıklık (fazlalık): γ₂ = −1,2

Aralık olasılığı yalnızca uzunluğa bağlıdır, konuma değil: [1, 3] ile [7, 9] aralıklarının olasılığı U(0, 10) dağılımında eşittir. Destek dışına taşan sınırlar hesapta a ve b'ye kırpılır.

Nasıl Hesaplanır?

  1. Dağılımın alt sınırını (a) ve üst sınırını (b) girin; b, a'dan kesin olarak büyük olmalıdır.
  2. Olasılığını hesaplamak istediğiniz aralığın uçlarını x₁ ve x₂ alanlarına yazın.
  3. İsterseniz bir kantil olasılığı (örn. 0,9) girerek gözlemlerin %90'ının altında kaldığı değeri bulun; istemiyorsanız boş bırakın.
  4. Sonuçta yoğunluğun sabit olduğunu, aralık olasılığının uzunluk oranına eşit çıktığını ve ortalama ile medyanın çakıştığını görün.
  5. Gölgeli dikdörtgen alanı hesaplanan olasılığı gösterir; kırpma uyarısı çıktıysa sınırların destek dışına taştığı anlamına gelir.

Örnek Hesaplamalar

U(0, 10) aralığında orta bölge

0 ile 10 arasında düzgün dağılan bir değişkende yoğunluk sabit 0,1'dir. 3 ile 7 arasında kalma olasılığı 0,4 (%40), 3'ün altında kalma olasılığı 0,3'tür. Ortalama ve medyan 5, varyans 8,33, standart sapma 2,89'dur; %90 kantili 9 değerine denk gelir.

P(3 < X < 7): 0,4000 · P(X ≤ 3): 0,3000 · P(X ≥ 7): 0,3000

Otobüs bekleme süresi: 0–20 dakika

Otobüsler 20 dakikada bir geliyorsa ve durağa rastgele varılıyorsa bekleme süresi U(0, 20) dağılır. 5 ile 15 dakika arasında beklemenin olasılığı 0,5, 5 dakikadan az bekleme olasılığı 0,25'tir. Ortalama bekleme 10 dakika, standart sapma 5,77 dakikadır; yolcuların %95'i en fazla 19 dakika bekler.

P(5 < X < 15): 0,5000 · P(X ≤ 5): 0,2500 · P(X ≥ 15): 0,2500

Ölçüm yuvarlama hatası: −0,5 ile 0,5

En yakın tam sayıya yuvarlanan bir ölçümün hatası U(−0,5; 0,5) dağılır ve yoğunluk 1'dir. Hatanın ±0,1 içinde kalma olasılığı 0,2'dir. Ortalama hata 0, varyans 0,0833 ve standart sapma 0,2887 çıkar — bu değer ölçüm belirsizliği hesaplarındaki bilinen 1/√12 katsayısıdır.

P(-0,1 < X < 0,1): 0,2000 · P(X ≤ -0,1): 0,4000 · P(X ≥ 0,1): 0,4000

Sıkça Sorulan Sorular

Sürekli düzgün dağılım ile kesikli düzgün dağılım arasındaki fark nedir?
Sürekli düzgün dağılımda değişken [a, b] aralığındaki her gerçel değeri alabilir ve tek bir noktanın olasılığı sıfırdır; olasılık ancak aralıklar için tanımlıdır. Kesikli düzgün dağılımda ise sonlu sayıda sonuç vardır (zarın altı yüzü gibi) ve her birinin olasılığı 1/n'dir. Varyans formülleri de farklıdır: sürekli için (b−a)²/12, kesikli için (n²−1)/12.
Standart sapma neden aralık genişliğinin 0,2887 katı?
Varyans (b−a)²/12 olduğundan standart sapma (b−a)/√12 = (b−a)/3,4641 ≈ 0,2887·(b−a) çıkar. Bu katsayı ölçüm bilimi ve metrolojide standarttır: yalnızca yuvarlama aralığı bilinen bir belirsizlik, aralık genişliğinin 1/√12 katı alınarak standart belirsizliğe çevrilir.
Excel ve R'da düzgün dağılım nasıl hesaplanır?
Excel'in hazır bir uniform CDF fonksiyonu yoktur; olasılık doğrudan `=(x2-x1)/(b-a)` biçiminde yazılır, rastgele değer için `=RASTGELEARADA()` veya `=S_SAYI_ÜRET()*(b-a)+a` kullanılır. R'da `punif(x, min = a, max = b)`, `qunif(q, min, max)` ve `runif(n, min, max)` fonksiyonları vardır. Python'da `scipy.stats.uniform(loc = a, scale = b - a)` yazılır — SciPy ikinci parametre olarak b değil GENİŞLİK ister.
Aralık sınırlarım a ve b dışında kalırsa ne olur?
Destek dışında yoğunluk sıfır olduğu için o bölgeler olasılığa katkı yapmaz. Araç sınırları otomatik olarak [a, b] içine kırpar ve bir uyarı gösterir; örneğin U(0, 10) dağılımında P(−5 < X < 4) ile P(0 < X < 4) aynı değeri (0,4) verir. Kırpma uyarısı görüyorsanız sorunuzu yeniden gözden geçirmeniz iyi olur.
Düzgün dağılım simülasyonlarda neden bu kadar önemli?
Neredeyse tüm rastgele sayı üreteçleri önce U(0, 1) dağılımından değer üretir; diğer dağılımlar bu değerlerin dönüştürülmesiyle elde edilir. Ters dönüşüm yönteminde x = F⁻¹(u) hesaplanır — örneğin üstel dağılım için x = −ln(1−u)/λ. Bu yüzden Monte Carlo çalışmalarının doğruluğu, kullanılan düzgün üretecin kalitesine bağlıdır.
Düzgün dağılım varsayımı ne zaman yanlıştır?
Verinin belirli bir bölgede yoğunlaştığı her durumda yanlıştır. Histogramda tepe noktası olan, kuyruğu bulunan veya uçlarda seyrelen veriler düzgün dağılmaz. Basit bir kontrol: düzgün dağılımda basıklık −1,2, çarpıklık 0'dır ve her çeyreğe gözlemlerin tam %25'i düşer. Ki-kare uygunluk testi veya Kolmogorov-Smirnov testi ile varsayım resmen sınanabilir.