z Testi Hesaplama

İstatistikSon güncelleme: 22 Ağustos 2026

z testi, kitle standart sapması σ'nın bilindiği durumlarda bir örneklem ortalamasının kuramsal bir değerden (μ₀) anlamlı biçimde sapıp sapmadığını sınar. Kalibre edilmiş ölçüm cihazları, standartlaştırılmış testler ve uzun yıllara dayalı üretim kayıtları gibi σ'nın geçmiş verilerden güvenle bilindiği durumlarda kullanılır.

Test istatistiği, gözlenen farkın örnekleme dağılımının standart hatasına oranıdır ve doğrudan standart normal dağılıma göre değerlendirilir; serbestlik derecesi kavramı yoktur. Araç z değerini, seçtiğiniz yöne göre p değerini, kritik z'yi, ortalamanın ve farkın güven aralığını, Cohen d etki büyüklüğünü hesaplar ve reddetme bölgesini gölgeli normal eğri üzerinde gösterir.

Ham veri girerseniz ortalama ve n otomatik hesaplanır, histogram da çizilir.
Sayıları virgül, boşluk veya alt alta yazabilirsiniz. Ondalık ayırıcı olarak virgül kullanabilirsiniz (3,14).
Bilinen ya da geçmiş verilerden kabul edilen kitle standart sapması. Bilinmiyorsa z testi değil t testi kullanılmalıdır.
Ortalamanın karşılaştırılacağı kuramsal değer ya da standart.
Yönlü hipotez ancak farkın yönü önceden gerekçelendirilebiliyorsa seçilmelidir.
Yanlış pozitif riskini belirler. Sosyal bilimlerde yaygın seçim %5'tir.
Aralığın gerçek parametreyi kapsama olasılığı.

Tek Örneklem z Testi Formülleri

Hipotezler:        H₀: μ = μ₀   ·   H₁: μ ≠ μ₀ (çift yönlü)
Standart hata:     SH = σ / √n
Test istatistiği:  z = (x̄ − μ₀) / SH
Çift yönlü p:      p = 2·[1 − Φ(|z|)]
Sağ kuyruk p:      p = 1 − Φ(z)        Sol kuyruk p: p = Φ(z)
Kritik değer:      çift yönlü ±z₍₁−α/₂₎ · tek yönlü z₍₁−α₎
Güven aralığı:     x̄ ± z₍₁−α/₂₎ · σ/√n
Etki büyüklüğü:    d = (x̄ − μ₀) / σ

Sık kullanılan kritik değerler: %90 için 1,645 · %95 için 1,960 · %99 için 2,576 (çift yönlü). Bu değerler örneklem büyüklüğünden bağımsızdır, çünkü z testinde serbestlik derecesi yoktur.

Nasıl Hesaplanır?

  1. Kitle standart sapmasını (σ) girin; bu değer geçmiş kayıtlardan ya da ölçüm aracının bilinen özelliklerinden gelmelidir.
  2. Ham veriyi yapıştırın veya özet moda geçip örneklem ortalaması ile n değerini yazın.
  3. Ortalamanın karşılaştırılacağı test değerini (μ₀) belirleyin.
  4. Hipotez yönünü, anlamlılık düzeyini (α) ve güven düzeyini seçin.
  5. z değerini kritik z ile karşılaştırın ve gölgeli normal eğride z'nin reddetme bölgesine düşüp düşmediğini görün.
  6. Güven aralığını ve Cohen d etki büyüklüğünü raporlayın; σ hakkında şüpheniz varsa sonucu t testiyle de kontrol edin.

Örnek Hesaplamalar

Standart testte ortalama sapması

12 kişilik örneklemin ortalaması 111,67'dir. σ = 15 bilindiğinde standart hata 4,33 olur ve z = 2,694 çıkar; çift yönlü sınamada p = 0,007 bulunur ve H₀ reddedilir. Ortalamanın %95 güven aralığı 103,18 ile 120,15 arasındadır ve 100 değerini kapsamaz; Cohen d = 0,778 orta düzeyde bir etkidir.

z istatistiği: 2,6943 · p değeri: p = 0,007 · Kritik z (α = 0,05): ±1,9600

Özet istatistikle büyük örneklem

n = 400 ve σ = 15 için standart hata yalnızca 0,75'tir; 1,50 birimlik fark z = 2,000 üretir ve çift yönlü p = 0,046 çıkar, yani H₀ reddedilir. Buna karşılık Cohen d = 0,100 ile etki ihmal edilebilir düzeydedir. Ortalamanın %95 güven aralığı 100,03 ile 102,97 arasındadır; büyük örneklemde pratik önemi olmayan farkların da anlamlı çıkabildiği bu örnekte açıkça görülür.

z istatistiği: 2,0000 · p değeri: p = 0,046 · Kritik z (α = 0,05): ±1,9600

Sol kuyruk sınaması — dolum ağırlığı

40 paketin ortalaması 497,50 gram, bilinen süreç standart sapması 6 gramdır. Standart hata 0,9487 olduğundan z = -2,635 çıkar ve sol kuyruk sınamasında p = 0,004 bulunur; ortalama dolum ağırlığı 500 gramın altındadır. Farkın %95 güven aralığı yaklaşık -4,36 ile -0,64 gram arasındadır ve sıfırı kapsamaz; Cohen d = -0,417 küçük bir etkidir.

z istatistiği: -2,6352 · p değeri: p = 0,004 · Kritik z (α = 0,05): -1,6449

Sıkça Sorulan Sorular

z testi ile t testi arasındaki fark tam olarak nedir?
Ayrım tek bir noktadadır: paydadaki standart sapmanın nereden geldiği. z testi kitle standart sapması σ'yı BİLİNEN bir sabit kabul eder ve test istatistiğini standart normal dağılıma göre değerlendirir. t testi ise σ'yı bilmediğiniz için örneklemden s ile kestirir; bu kestirimin kendisi de değişkenlik taşıdığından referans dağılım daha kalın kuyruklu t dağılımı olur ve serbestlik derecesi devreye girer. Uygulamada σ neredeyse hiç bilinmediği için t testi çok daha sık kullanılır.
Hangi durumlarda z testini t testine tercih etmeliyim?
σ'nın gerçekten dışsal bir kaynaktan bilindiği durumlarda: standartlaştırılmış zekâ veya başarı testlerinde (σ = 15 gibi), uzun süredir izlenen ve kararlı bir süreç yeteneği bilinen üretim hatlarında, kalibrasyon belgesiyle standart sapması belirtilen ölçüm cihazlarında. Bunun dışında σ'yı örneklemden hesaplayıp z testi yapmak yöntem hatasıdır ve p değerini olduğundan küçük gösterir.
n büyükse z ile t aynı sonucu verir mi?
Evet, pratikte yakınsarlar. Serbestlik derecesi arttıkça t dağılımı standart normale yaklaşır: sd = 30'da çift yönlü %5 kritik değer 2,042 iken sd = 100'de 1,984, sonsuzda 1,960'tır. n ≥ 100 civarında iki testin p değerleri üçüncü ondalıktan sonra farklılaşır. Yine de σ bilinmiyorsa büyük örneklemde bile doğru seçim t testidir; fark küçüktür ama gerekçe değişmez.
Örneklem küçükken z testi geçerli midir?
σ gerçekten biliniyorsa evet, ancak bir koşulla: n < 30 olduğunda merkezi limit teoremine dayanamazsınız, dolayısıyla kitlenin kendisinin yaklaşık normal dağılması gerekir. Kitle belirgin biçimde çarpıksa küçük örneklemde z testinin p değeri güvenilir olmaz. Bu durumda ya örneklemi büyütmek ya da parametrik olmayan bir yönteme geçmek gerekir.
Kritik z değerleri neden hep aynı?
z testinde referans dağılım daima standart normaldir ve örneklem büyüklüğüne göre değişmez. Bu yüzden çift yönlü %5 için sınır her zaman ±1,96, %1 için ±2,576, tek yönlü %5 için 1,645'tir. Örneklem büyüklüğü kritik değeri değil, standart hatayı (σ/√n) etkiler; n büyüdükçe payda küçülür ve aynı fark daha büyük bir z üretir.
p değeri ile güven aralığı neden hep aynı kararı veriyor?
Çift yönlü z testi ile aynı güven düzeyindeki aralık matematiksel olarak eşdeğerdir. α = 0,05 ile yapılan çift yönlü test H₀'ı reddediyorsa %95 güven aralığı μ₀ değerini kapsamaz; reddedemiyorsa kapsar. Güven aralığı ek olarak etkinin büyüklüğü hakkında bilgi verdiği için raporlarda p değeriyle birlikte sunulması önerilir.
Excel ve R'da z testini nasıl yaparım?
Excel'de Z.TEST(dizi; μ₀; σ) fonksiyonu tek yönlü (sağ kuyruk) p değerini döndürür; çift yönlü için sonucu ikiyle çarpın ya da 1'den çıkarıp ikiyle çarpın. Kritik değer için NORM.S.TERS(1 − α/2) kullanılır. R'da temel pakette hazır bir z.test yoktur; BSDA paketindeki z.test(x, mu = 100, sigma.x = 15) komutu ya da doğrudan 2*pnorm(-abs(z)) hesabı aynı sonucu verir.