Çarpıklık ve Basıklık Hesaplama

İstatistikSon güncelleme: 22 Ağustos 2026

Çarpıklık (skewness) bir dağılımın simetriden ne kadar saptığını, basıklık (kurtosis) ise kuyrukların ne kadar kalın ve tepenin ne kadar sivri olduğunu ölçer. Normal dağılımda her ikisi de sıfırdır; bu yüzden iki katsayı birlikte, normallik varsayımının makul olup olmadığını değerlendirmenin en yaygın yoludur.

Bu araç örneklem düzeltmeli g₁ ve g₂ katsayılarını (SPSS Descriptives ve Excel ÇARPIKLIK/BASIKLIK ile aynı formüller), bunların standart hatalarını (SES ve SEK) ve z oranlarını hesaplar. Ek olarak D'Agostino-Pearson K² omnibus normallik testini uygular, kararı seçtiğiniz anlamlılık düzeyine göre verir ve histogram ile normal Q-Q grafiğini birlikte çizerek sayısal sonucu görsel olarak doğrulamanızı sağlar.

En az 8 değer gerekir. Sayıları virgül, boşluk veya alt alta yazabilirsiniz.
Yanlış pozitif riskini belirler. Sosyal bilimlerde yaygın seçim %5'tir.

Çarpıklık ve Basıklık Formülleri

Merkezî moment:   mₖ = Σ(xᵢ − x̄)ᵏ / n
Çarpıklık:        g₁ = [n / ((n−1)(n−2))] · Σ((xᵢ − x̄)/s)³
Basıklık:         g₂ = {n(n+1) / [(n−1)(n−2)(n−3)]} · Σ((xᵢ − x̄)/s)⁴ − 3(n−1)² / [(n−2)(n−3)]
Çarpıklık SH:     SES = √[ 6n(n−1) / ((n−2)(n+1)(n+3)) ]
Basıklık SH:      SEK = 2·SES·√[ (n²−1) / ((n−3)(n+5)) ]
z oranları:       z₁ = g₁ / SES ,  z₂ = g₂ / SEK
Omnibus test:     K² = Z(√b₁)² + Z(b₂)² ~ χ²(2)
Pearson 2:        Sk = 3·(x̄ − Medyan) / s
Normal dağılımda: g₁ = 0 ,  g₂ = 0  (b₂ = 3)

Çarpıklık ve basıklık için birden çok tanım vardır. Burada SPSS ve Excel'in kullandığı örneklem düzeltmeli G₁/G₂ katsayıları raporlanır; D'Agostino-Pearson testi ise düzeltilmemiş moment katsayıları √b₁ ve b₂ üzerinden yürütülür.

Nasıl Hesaplanır?

  1. Veri değerlerinizi kutuya yapıştırın; güvenilir bir sonuç için en az 20 gözlem önerilir (asgari 8).
  2. Anlamlılık düzeyini seçin; kritik z değeri ve K² testinin kararı bu seçime göre belirlenir.
  3. Çarpıklık işaretine bakın: pozitifse sağa (uzun kuyruk sağda), negatifse sola çarpık dağılım söz konusudur.
  4. z oranlarını ±kritik z sınırıyla karşılaştırın; sınır aşılıyorsa ilgili sapma istatistiksel olarak anlamlıdır.
  5. D'Agostino-Pearson K² testinin p değerini okuyun: α'nın altındaysa normallik varsayımı reddedilir.
  6. Histogram ve Q-Q grafiğini kontrol ederek sayısal sonucu görsel olarak doğrulayın; büyük örneklemlerde grafik, testten daha bilgilendiricidir.

Örnek Hesaplamalar

Sağa çarpık gelir benzeri veri

20 gözlemde çarpıklık g₁ = 2,0406 ve standart hatası SES = 0,5121 olduğundan z(g₁) = 3,985 çıkar; bu değer ±1,96 sınırını aştığı için simetriden sapma anlamlıdır. Fazlalık basıklık g₂ = 4,7649 ve SEK = 0,9924 ile z(g₂) = 4,801 bulunur. D'Agostino-Pearson testinde K² = 19,198 ve p < 0,001 olduğundan normal dağılım varsayımı reddedilir; ortalama 23,10 iken medyan 19,50 kalır.

Veri sayısı (n): 20 · Çarpıklık (g₁): 2,0406 · Çarpıklığın standart hatası (SES): 0,5121

Normale yakın simetrik veri

50 çevresinde tam simetrik 16 ölçümde çarpıklık g₁ = 0,0000 ve fazlalık basıklık g₂ = -0,0022 çıkar; z değerleri sırasıyla 0,000 ve -0,002 olup ikisi de ±1,96 sınırının içindedir. K² = 0,051 ile p = 0,975 bulunduğundan normal dağılım varsayımı reddedilemez; ortalama ve medyan 50'de çakışır, Q-Q grafiğindeki noktalar da doğruya yakın seyreder.

Veri sayısı (n): 16 · Çarpıklık (g₁): 0,0000 · Çarpıklığın standart hatası (SES): 0,5643

Sola çarpık sınav puanları

Tavan etkisi gösteren 20 puanda çarpıklık g₁ = -1,9565 (z = -3,820) ve fazlalık basıklık g₂ = 4,4718 (z = 4,506) bulunur; uzun kuyruk soldadır, yani 45 ve 62 gibi birkaç düşük puan ortalamayı aşağı çeker. K² = 18,072 ve p < 0,001 olduğundan normallik reddedilir; ortalama 81,75 iken medyan 84,50 olduğu için merkez ölçüsü olarak medyan tercih edilmelidir.

Veri sayısı (n): 20 · Çarpıklık (g₁): -1,9565 · Çarpıklığın standart hatası (SES): 0,5121

Sıkça Sorulan Sorular

Çarpıklık ve basıklık değerleri hangi aralıkta 'normal' sayılır?
Kesin bir kural yoktur ama yaygın uzlaşım |g₁| < 1 ve |g₂| < 1 aralığının kabul edilebilir, ±2 aralığının ise sınır olduğu yönündedir. Bazı kaynaklar (özellikle yapısal eşitlik modellemesinde) |g₁| < 3 ve |g₂| < 10 sınırlarını kullanır. Sayıyı tek başına değil, histogram ve Q-Q grafiğiyle birlikte değerlendirin.
z oranı nedir ve neden kullanılır?
z oranı, katsayıyı kendi standart hatasına bölerek sıfırdan sapmanın örneklem büyüklüğüne göre anlamlı olup olmadığını ölçer. |z| değeri α = 0,05 için 1,96'yı aşıyorsa sapma anlamlı kabul edilir. Ancak n büyüdükçe standart hata küçüldüğü için çok küçük sapmalar bile anlamlı çıkar; bu yüzden büyük örneklemlerde z yerine katsayının kendi büyüklüğüne bakmak daha doğrudur.
Basıklık 3 mü 0 mı olmalı?
İkisi de doğrudur, hangi tanımın kullanıldığına bağlıdır. Ham moment basıklığı b₂ normal dağılımda 3'tür; fazlalık (excess) basıklık ise b₂'den 3 çıkarılarak elde edilir ve normal dağılımda 0 olur. SPSS, Excel ve bu araç fazlalık basıklığı raporlar, dolayısıyla referans değer 0'dır; her iki katsayı da sonuçlarda ayrı ayrı gösterilir.
D'Agostino-Pearson testi Shapiro-Wilk'ten farklı mı?
Evet. D'Agostino-Pearson yalnızca çarpıklık ve basıklıktaki sapmaları birleştirir; hangi yönden sapma olduğunu da söylediği için tanılayıcıdır. Shapiro-Wilk daha genel bir normallik testidir ve küçük örneklemlerde genellikle daha güçlüdür. İkisi çoğu veri setinde uyumlu sonuç verir; çeliştiklerinde Q-Q grafiği belirleyici olmalıdır.
Normallik reddedilirse ne yapmalıyım?
Önce nedenini araştırın: aykırı değerler, iki farklı alt grubun karışması veya tavan-taban etkisi sık rastlanan nedenlerdir. Sağa çarpık veride logaritma veya karekök dönüşümü çoğu zaman dağılımı düzeltir. Dönüşüm işe yaramazsa Mann-Whitney U, Kruskal-Wallis gibi parametrik olmayan testlere geçebilirsiniz; büyük örneklemlerde merkezî limit teoremi sayesinde ortalamaya dayalı testler zaten dayanıklıdır.
Kaç gözlemle çarpıklık ve basıklık hesaplanmalı?
Basıklık formülü matematiksel olarak en az 4 gözlem ister, ancak bu araç güvenilirlik için asgari 8 değer arar. Gerçekte 20'nin altındaki örneklemlerde her iki katsayı da örnekten örneğe çok oynar ve yorumları yanıltıcı olabilir. Sağlam bir değerlendirme için 50 ve üzeri gözlem önerilir.
Excel, SPSS ve R aynı sonucu verir mi?
Excel'in ÇARPIKLIK/BASIKLIK fonksiyonları ile SPSS Descriptives çıktısı aynı örneklem düzeltmeli formülleri kullanır ve bu araçla birebir aynı değeri üretir. R'ın temel kurulumunda hazır fonksiyon yoktur; e1071 paketindeki skewness(x, type = 2) ve kurtosis(x, type = 2) çağrıları aynı sonucu verir. type = 1 seçilirse düzeltilmemiş moment katsayıları elde edilir.