Harmonik Ortalama Hesaplama

İstatistikSon güncelleme: 22 Ağustos 2026

Harmonik ortalama, değerlerin terslerinin aritmetik ortalamasının tersidir. Bir şeyin 'birim başına' ifade edildiği her yerde doğru ortalama budur: kilometre başına saat (hız), ürün başına lira (birim maliyet), hisse başına kazanç oranı (F/K) ve saat başına iş miktarı (verimlilik) gibi ölçümlerde aritmetik ortalama sistematik olarak yanlış sonuç verir.

Klasik örnek gidiş-dönüş hızıdır: aynı yolu 60 km/s gidip 40 km/s dönen bir araç ortalama 50 değil 48 km/s yapar, çünkü yavaş bölümde daha uzun süre geçirilir. Bu araç harmonik ortalamanın yanında aritmetik ve geometrik ortalamayı da hesaplar, AO ≥ GO ≥ HO eşitsizliğini sayısal olarak gösterir, isteğe bağlı ağırlıklarla ağırlıklı harmonik ortalamayı üretir ve her değerin ters katkısını tabloyla açıklar.

Hız, oran veya birim başına değerler. Tümü pozitif olmalıdır. Virgül, boşluk veya alt alta yazabilirsiniz.
Değerlerle aynı sırada ve aynı sayıda girin. Ağırlık, o değerin geçerli olduğu miktardır: hızda alınan yol, birim maliyette harcanan tutar.

Harmonik Ortalama Formülleri

Tanım:              HO = n / Σ(1/xᵢ) = n / (1/x₁ + 1/x₂ + … + 1/xₙ)
Eşdeğer biçim:      1/HO = (1/n) · Σ(1/xᵢ)
Ağırlıklı:          HO_w = Σwᵢ / Σ(wᵢ/xᵢ)
İki değer için:     HO = 2·x₁·x₂ / (x₁ + x₂)
Gidiş-dönüş hızı:   v̄ = 2·v₁·v₂ / (v₁ + v₂)
Eşitsizlik:         HO ≤ GO ≤ x̄   (tüm xᵢ > 0)
Bağıntı:            GO² = x̄ · HO   (n = 2 için tam eşitlik)

Excel'de HARORT (HARMEAN), R'da 1/mean(1/x), SPSS'te Means menüsündeki Harmonic Mean istatistiği aynı sonucu verir. Ağırlıklı biçim, birim başına ölçümlerde toplam miktarın toplam maliyete/süreye bölünmesiyle özdeştir.

Nasıl Hesaplanır?

  1. Ortalamasını almak istediğiniz oran veya hız değerlerini kutuya yazın; hepsi pozitif olmalıdır.
  2. Her değerin geçerli olduğu miktarlar farklıysa (farklı mesafeler, farklı tutarlar) ağırlık kutusunu aynı sırayla doldurun.
  3. Harmonik ortalamayı aritmetik ortalamayla karşılaştırın; fark, değerlerin ne kadar yayıldığını gösterir.
  4. Ters değerler tablosunda hangi gözlemin paydaya en çok katkı yaptığına bakın: en küçük değer daima en baskın olandır.
  5. Sonucun mantığını doğrulayın: harmonik ortalama her zaman en küçük ve en büyük değerin arasında, aritmetik ortalamanın altında kalmalıdır.
  6. Raporlarken hangi ortalamayı kullandığınızı açıkça yazın; hız ve birim maliyet tablolarında bu ayrım sonucu tamamen değiştirir.

Örnek Hesaplamalar

Gidiş-dönüş ortalama hızı

Aynı yolu 60 km/s gidip 40 km/s dönen araçta terslerin toplamı 1/60 + 1/40 = 0,041667 olduğundan harmonik ortalama 2 / 0,041667 = 48,0000 km/s'dir. Aritmetik ortalama 50 km/s yanlış sonuçtur; geometrik ortalama ise 48,9898 çıkar ve HO ≤ GO ≤ AO sıralaması doğrulanır.

Veri sayısı (n): 2 · Harmonik ortalama (HO): 48,0000 · Terslerin toplamı Σ(1/xᵢ): 0,041667

Fiyat/kazanç oranlarının ortalaması

Dört hissenin F/K oranları için terslerin toplamı 0,213889'dur ve harmonik ortalama 4 / 0,213889 = 18,7013 olur. Aritmetik ortalama 21,0000 ile bu değerin 2,2987 puan üzerindedir; F/K gibi 'birim kazanç başına fiyat' oranlarında endeks düzeyinde doğru ortalama harmonik ortalamadır.

Veri sayısı (n): 4 · Harmonik ortalama (HO): 18,7013 · Terslerin toplamı Σ(1/xᵢ): 0,213889

Ağırlıklı ortalama birim fiyat

Litre fiyatı 42, 45 ve 48 TL olan üç istasyonda sırasıyla 1.000, 1.500 ve 2.000 TL harcanmışsa Σw = 4.500 ve Σ(w/x) = 98,809524 litre olur; ağırlıklı harmonik ortalama 4.500 / 98,809524 = 45,5422 TL/litre bulunur. Ağırlıklı aritmetik ortalama ise 45,6667 TL vererek gerçekte ödenen ortalama litre fiyatını olduğundan yüksek gösterir.

Veri sayısı (n): 3 · Ağırlıklı harmonik ortalama: 45,5422 · Ağırlıkların toplamı (Σwᵢ): 4.500

Sıkça Sorulan Sorular

Harmonik ortalama hangi durumlarda kullanılır?
Ortalaması alınacak büyüklük bir oranın paydası sabitken tanımlıysa harmonik ortalama doğrudur. Eşit mesafelerde ortalama hız, eşit tutarlarda ortalama birim fiyat, endeks düzeyinde F/K oranı ve saat başına iş çıkarma hızları tipik örneklerdir. Ortak nokta, ortalanan değerin 'bir şey başına' ifade edilmiş olmasıdır.
Neden 60 ve 40 km/s'nin ortalaması 50 değil 48?
Çünkü araç yavaş giden bölümde daha uzun süre kalır ve ortalamaya süre üzerinden katkı verir. 120 km'lik bir yolda gidiş 2 saat, dönüş 3 saat sürer; toplam 240 km, 5 saatte alınır ve 240/5 = 48 km/s bulunur. Harmonik ortalama tam olarak bu hesabı kısayoldan yapar.
Aritmetik, geometrik ve harmonik ortalama arasındaki fark nedir?
Aritmetik ortalama toplamsal büyüklükler (boy, puan, tutar), geometrik ortalama çarpımsal büyüklükler (getiri, büyüme oranı), harmonik ortalama ise oransal büyüklükler (hız, birim maliyet) içindir. Pozitif verilerde her zaman HO ≤ GO ≤ AO sıralaması geçerlidir ve üçü ancak tüm değerler eşitken çakışır.
Ağırlıklı harmonik ortalamayı ne zaman kullanmalıyım?
Her değerin geçerli olduğu miktar farklıysa ağırlık gerekir. Farklı mesafelerde farklı hızlar sürüldüyse ağırlık mesafedir; farklı tutarlarda alışveriş yapıldıysa ağırlık harcanan tutardır. Ağırlıklar eşit olduğunda formül sıradan harmonik ortalamaya indirgenir.
Veride sıfır veya negatif değer varsa ne olur?
Sıfır, 1/x terimini tanımsız yaptığı için harmonik ortalama hesaplanamaz; araç bu durumda hata verir. Negatif ve pozitif değerlerin karıştığı serilerde terslerin toplamı sıfıra yaklaşabilir ve sonuç anlamsız biçimde büyür. Böyle verilerde aritmetik ortalama ya da medyan tercih edilmelidir.
Excel ve R'da harmonik ortalama nasıl hesaplanır?
Excel'de HARORT (İngilizce sürümde HARMEAN) fonksiyonu doğrudan sonucu verir ve sıfır ya da negatif değer görürse #SAYI! hatası döndürür. R'da hazır fonksiyon yerine 1/mean(1/x) yazmak yaygındır; psych paketindeki harmonic.mean() de kullanılabilir. SPSS'te Compare Means > Means menüsünden Harmonic Mean seçilir.
F1 skoru neden harmonik ortalamadır?
F1, kesinlik (precision) ve duyarlılık (recall) oranlarının harmonik ortalamasıdır. Harmonik ortalama küçük değeri baskın kıldığı için iki ölçüden biri çok düşükse F1 de düşük kalır; aritmetik ortalama ise bu dengesizliği gizlerdi. Aynı mantık, dengeli performans isteyen tüm oran birleştirmelerinde geçerlidir.