İkinci Derece Denklem Çözme

MatematikSon güncelleme: 17 Ağustos 2026

İkinci derece (kuadratik) denklem ax² + bx + c = 0 biçimindedir ve çözümü diskriminanta (Δ = b² − 4ac) bağlıdır: Δ > 0 ise iki farklı gerçek kök, Δ = 0 ise çakışık tek kök vardır; Δ < 0 ise gerçek kök yoktur, kökler karmaşık sayılardır.

Bu araç diskriminantı ve kökleri hesaplar, parabolün tepe noktasını ve simetri eksenini verir, çözüm adımlarını sade Türkçeyle açıklar ve grafiği çizer. Δ < 0 durumunda karmaşık kökleri de gösterir; ödev kontrolü ve fonksiyon analizi için birebirdir.

0 olamaz — a = 0 olursa denklem ikinci derece olmaktan çıkar.

Formül

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Δ = b² − 4ac
x₁,₂ = (−b ∓ √Δ) / (2a)
Tepe noktası: x = −b / 2a, y = c − b² / 4a
Vieta: x₁ + x₂ = −b/a, x₁ × x₂ = c/a

En sık hata işaretlerdedir: b negatifken −b pozitif olur ve b² her zaman pozitiftir. Örneğin b = −5 için Δ = (−5)² − 4ac hesaplanırken (−5)² = 25'tir, −25 değil.

Nasıl Hesaplanır?

  1. Denkleminizi ax² + bx + c = 0 biçimine getirin — tüm terimleri sol tarafa toplayın.
  2. a, b ve c katsayılarını işaretleriyle birlikte girin (a ≠ 0).
  3. Diskriminantı, kökleri ve tepe noktasını sonuç bölümünde okuyun.
  4. Yorum satırındaki adım adım çözümle işlemi defterinize aktarın; grafikten kökleri görsel olarak doğrulayın.

Örnek Hesaplamalar

İki gerçek kök: x² − 5x + 6 = 0

Δ = b² − 4ac = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 1 bulunur. Δ > 0 olduğundan iki farklı gerçek kök vardır: x₁ = 2 ve x₂ = 3. Tepe noktası (2,50; -0,25), simetri ekseni ise x = 2,50'dir.

Diskriminant (Δ): 1 · Kökler: x₁ = 2, x₂ = 3 · Tepe noktası: (2,50; -0,25)

Çakışık kök: x² + 4x + 4 = 0

Δ = b² − 4ac = 4² − 4 × 1 × 4 = 0 çıkar; (x + 2)² = 0 özdeşliğinden çakışık kök x = -2'dir. Parabol x eksenine tepe noktası (-2; 0)'da teğet geçer.

Diskriminant (Δ): 0 · Çakışık (çift) kök: x₁ = x₂ = -2 · Tepe noktası: (-2; 0)

Gerçek kök yok: x² + x + 1 = 0

Δ = b² − 4ac = 1² − 4 × 1 × 1 = -3 negatiftir: parabol x eksenini hiç kesmez, gerçek kök yoktur. Karmaşık kökler x = -0,500 ± 0,866i olarak bulunur; tepe noktası (-0,50; 0,75)'tir.

Diskriminant (Δ): -3 · Karmaşık kökler: x = -0,500 ± 0,866i · Tepe noktası: (-0,50; 0,75)

Sıkça Sorulan Sorular

Diskriminant (delta) ne işe yarar?
Δ = b² − 4ac, kök hesaplamadan önce denklemin kaç gerçek çözümü olduğunu söyler: Δ > 0 ise iki farklı, Δ = 0 ise çakışık tek, Δ < 0 ise hiç gerçek kök yoktur. Kök formülündeki karekökün içi olduğu için işareti her şeyi belirler.
a katsayısı neden 0 olamaz?
a = 0 olursa x² terimi düşer ve denklem bx + c = 0 biçiminde birinci dereceden olur; kök formülündeki 2a paydası da tanımsız kalır. Böyle bir denklemin tek çözümü x = −c/b'dir ve bu araç bu durumda sizi uyarır.
Δ < 0 iken kökler nedir?
Gerçek sayılarda çözüm yoktur; kökler x = −b/2a ± (√(−Δ)/2a)i biçiminde eşlenik iki karmaşık sayıdır. Grafikte bunun karşılığı, parabolün x eksenini hiç kesmemesidir. Araç bu kökleri de hesaplayıp gösterir.
Tepe noktası nasıl bulunur ve ne anlama gelir?
Tepe noktasının apsisi x = −b/2a, ordinatı y = c − b²/4a'dır. a > 0 ise parabol yukarı açılır ve tepe en küçük değerdir; a < 0 ise aşağı açılır ve tepe en büyük değerdir. Kâr maksimizasyonu gibi optimizasyon sorularının cevabı tepe noktasıdır.
Vieta formülleri nedir?
Kökleri tek tek bulmadan toplamlarını ve çarpımlarını veren bağıntılardır: x₁ + x₂ = −b/a ve x₁ × x₂ = c/a. Sonucu hızla sağlamak için idealdir: x² − 5x + 6 = 0'da köklerin toplamı 5, çarpımı 6 olmalıdır (2 ve 3 sağlar).
Çarpanlara ayırma ile kök formülü arasında fark var mıdır?
İkisi de aynı kökleri verir. Çarpanlara ayırma, kökler tam sayı veya basit kesirken hızlıdır; kök formülü ise her durumda çalışan garantili yöntemdir. Çarpanlara ayıramadığınız her denklemde formüle (veya bu araca) geçebilirsiniz.