Kendall Tau-b Korelasyonu Hesaplama

İstatistikSon güncelleme: 22 Ağustos 2026

Kendall tau-b, iki sıralı değişken arasındaki uyumu doğrudan çift karşılaştırmalarıyla ölçen parametrik olmayan bir korelasyon katsayısıdır. Tüm gözlem çiftleri tek tek incelenir: bir çiftte iki değişken de aynı yönde sıralanıyorsa çift uyumlu (concordant), ters yönde sıralanıyorsa uyumsuz (discordant) sayılır. Katsayı, uyumlu çiftlerin fazlalığının olası çift sayısına oranıdır ve −1 ile +1 arasında değer alır.

Bu araç her çifti sayarak C ve D değerlerini, bağ (eşitlik) içeren çiftleri, S = C − D istatistiğini, bağ düzeltmeli tau-b katsayısını, normal yaklaşımla z ve p değerini ve tau için güven aralığını hesaplar. Sonuçta çift sayımı tablo hâlinde özetlenir ve aynı veri için Spearman rho ile karşılaştırma yapılır; bağların yoğun olduğu küçük örneklemlerde tau-b'nin neden daha güvenilir olduğunu somut sayılarla görürsünüz.

Her değer bir gözleme aittir. Sıralı (ordinal) veriler de doğrudan girilebilir.
X alanındaki aynı sıradaki gözlemle eşleşmelidir; iki alanda eşit sayıda değer olmalıdır.
Yanlış pozitif riskini belirler. Sosyal bilimlerde yaygın seçim %5'tir.
Aralığın gerçek parametreyi kapsama olasılığı.

Kendall Tau Formülleri

Toplam çift:      n₀ = n(n − 1)/2
S = C − D         (C: uyumlu, D: uyumsuz çift sayısı)
Tau-a:            τ_a = S / n₀
Tau-b:            τ_b = S / √[(n₀ − n_x)(n₀ − n_y)]
n_x = Σ tᵢ(tᵢ − 1)/2  (X'teki bağ grupları),  n_y aynı biçimde Y için
Var(S) = [n(n−1)(2n+5) − Σtᵢ(tᵢ−1)(2tᵢ+5) − Σuⱼ(uⱼ−1)(2uⱼ+5)] / 18
         + [Σtᵢ(tᵢ−1)(tᵢ−2)·Σuⱼ(uⱼ−1)(uⱼ−2)] / [9n(n−1)(n−2)]
         + [Σtᵢ(tᵢ−1)·Σuⱼ(uⱼ−1)] / [2n(n−1)]
z = S / √Var(S)   ,  p = 2·[1 − Φ(|z|)]
Güven aralığı:    tanh( artanh(τ_b) ± z_(1−α/2)·√(0,437/(n − 4)) )

Bağ düzeltmeli Var(S) formülü Kendall'ın klasik türetimidir ve SPSS'in Nonparametric Correlations çıktısıyla aynı z değerini üretir. Uyumlu/uyumsuz çift sayımı burada O(n²) tam tarama ile yapılır; yaklaşık yöntem kullanılmaz.

Nasıl Hesaplanır?

  1. X ve Y değerlerini aynı sırayla iki alana yapıştırın; iki alanda eşit sayıda değer olmalıdır ve her satır aynı gözleme ait olmalıdır.
  2. Anlamlılık düzeyini (α) ve güven düzeyini seçin.
  3. Çift sayımı tablosunu inceleyin: uyumlu, uyumsuz ve bağ içeren çiftlerin kaç tane olduğunu ve tau-b paydasını nasıl etkilediğini burada görürsünüz.
  4. Tau-b, z ve p değerini birlikte okuyun; karar satırı ilişkinin α düzeyinde anlamlı olup olmadığını doğrudan söyler.
  5. Spearman rho ile karşılaştırın: tau-b'nin sayısal olarak daha küçük çıkması normaldir, çünkü iki katsayı farklı ölçekler üzerinde tanımlıdır.
  6. Raporunuza τ_b değerini, z'yi, p'yi ve güven aralığını birlikte yazın.

Örnek Hesaplamalar

Sıralı iki ölçüm (bağlı değerler var)

45 çiftin 42'si uyumlu, hiçbiri uyumsuz değildir; kalan 3 çift Y'de bağlıdır. S = 42 ve τ_b = 0,966 çıkar (τ_a = 0,933). Var(S) = 122 ile z = 3,803 bulunur ve ilişki p < 0,001 düzeyinde anlamlıdır; %95 güven aralığı 0,905 – 0,988, Spearman rho ise 0,991'dir.

Kendall tau-b (τ_b): 0,966 · Etki büyüklüğü etiketi: güçlü (|τ_b| = 0,966) · Kendall tau-a (τ_a): 0,933

Negatif ama anlamlı olmayan uyum

45 çiftin 13'ü uyumlu, 32'si uyumsuzdur: S = -19 ve τ_b = -0,422 bulunur (bağ olmadığı için τ_a de aynıdır). z = -1,699 kritik değer 1,960'ın altında kaldığı için p = 0,089 ile ilişki istatistiksel olarak anlamlı değildir; %95 güven aralığı -0,753 ile 0,078 arasında olup sıfırı kapsar.

Kendall tau-b (τ_b): -0,422 · Etki büyüklüğü etiketi: güçlü (|τ_b| = 0,422) · Kendall tau-a (τ_a): -0,422

Likert tipi veri (yoğun bağ)

66 çiftin 48'i uyumlu, 1'i uyumsuz, 17'si bağlıdır. Bağ düzeltmesiyle τ_b = 0,832 iken düzeltmesiz τ_a = 0,712'de kalır — aradaki fark yoğun bağın etkisidir. z = 3,394 ve p < 0,001 ile uyum anlamlıdır; Spearman rho = 0,909 daha büyük bir değer verir.

Kendall tau-b (τ_b): 0,832 · Etki büyüklüğü etiketi: güçlü (|τ_b| = 0,832) · Kendall tau-a (τ_a): 0,712

Sıkça Sorulan Sorular

Kendall tau ile Spearman rho arasındaki fark nedir?
İkisi de sıra temelli parametrik olmayan korelasyon ölçüleridir, ancak farklı şeyleri sayarlar: Spearman sıra farklarının karelerine, Kendall ise uyumlu/uyumsuz çift oranına dayanır. Aynı veride tau genellikle rho'dan sayısal olarak küçük çıkar (kabaca τ ≈ ⅔ρ); bu bir tutarsızlık değil, ölçek farkıdır. Tau'nun doğrudan olasılık yorumu vardır ve küçük örneklemlerde daha kararlıdır.
Tau-a, tau-b ve tau-c arasındaki fark nedir?
Tau-a bağ düzeltmesi yapmaz ve bağ varsa asla ±1'e ulaşamaz. Tau-b, bağlı çiftleri paydadan düşerek düzeltir ve kare çapraz tablolarda ±1 alabilir; en yaygın kullanılan sürümdür ve bu araç onu raporlar. Tau-c ise satır/sütun sayısı eşit olmayan dikdörtgen çapraz tablolar için geliştirilmiştir. Sürekli veya ince ölçekli sıralı verilerde tau-b doğru seçimdir.
Uyumlu ve uyumsuz çift ne demektir?
İki gözlemden oluşan bir çiftte X farkı ile Y farkı aynı işaretteyse çift uyumludur: X'te büyük olan Y'de de büyüktür. İşaretler tersse çift uyumsuzdur. Farklardan biri sıfırsa (eşitlik) çift bağlıdır ve ne uyumlu ne de uyumsuz sayılır; tau-b bu çiftleri paydadan düşerek hesap yapar. τ = +1 tüm çiftlerin uyumlu, τ = −1 tümünün uyumsuz olduğu anlamına gelir.
Kendall tau ne zaman Spearman'a tercih edilmelidir?
Örneklem küçükse, veride çok sayıda bağ (eşit değer) varsa veya birkaç uç gözlem sıraları bozuyorsa tau-b tercih edilir; tau'nun örneklem dağılımı normale daha hızlı yaklaşır ve tahmin daha az oynaktır. Ayrıca kısmi tau ve genelleştirilmiş uyum ölçüleri gerektiren analizlerde tau doğal seçimdir. Büyük örneklemlerde iki katsayı aynı kararı verir.
p değeri nasıl hesaplanıyor, tam mı yaklaşık mı?
Bu araç S istatistiğinin bağ düzeltmeli varyansını kullanarak normal yaklaşımla (z testi) p üretir; SPSS'in Nonparametric Correlations çıktısıyla aynı yöntemdir. n küçükken (yaklaşık n < 10) ve bağ yokken tam Kendall dağılımı daha doğrudur; R'ın cor.test(x, y, method="kendall") fonksiyonu bu durumda tam p değerini verir. Araç n < 10 iken uyarı gösterir.
Tau değeri kaç olursa güçlü sayılır?
Tau, rho ve r ile aynı ölçekte okunmamalıdır. Yaygın kullanılan eşiklere göre |τ| < 0,07 ihmal edilebilir, 0,07–0,21 zayıf, 0,21–0,35 orta, 0,35 üzeri güçlü ilişkiye işaret eder. Aynı veride Pearson r 0,50 iken tau 0,35 civarında çıkabilir; bu nedenle literatürdeki karşılaştırmalarda hangi katsayının raporlandığına dikkat edilmelidir.
Kendall tau doğrusal olmayan ilişkileri yakalar mı?
İlişki monoton olduğu sürece evet: üstel, logaritmik veya basamaklı artan bir ilişkide bile tau yüksek çıkar, çünkü yalnızca sıralamalara bakar. Ancak U biçimli gibi monoton olmayan ilişkilerde tau sıfıra yakın çıkar ve güçlü ilişkiyi kaçırır. Bu nedenle katsayıyı yorumlamadan önce saçılım grafiğini incelemek gerekir.