Üstel Dağılım Hesaplama

İstatistikSon güncelleme: 22 Ağustos 2026

Üstel dağılım, sabit hızla ve birbirinden bağımsız gerçekleşen olaylar arasındaki bekleme süresini modelleyen sürekli bir dağılımdır. Bir çağrı merkezine gelen iki çağrı arasındaki süre, bir makinenin arızalanmasına kalan zaman, bir web sunucusuna gelen istekler arasındaki boşluk ya da radyoaktif bir çekirdeğin bozunmasına kadar geçen süre üstel dağılımla tanımlanır. Poisson süreciyle doğrudan bağlantılıdır: olay sayısı Poisson dağılıyorsa, olaylar arası süre üsteldir.

Bu araç λ (birim zamandaki olay oranı) veya ortalama bekleme süresi (μ = 1/λ) üzerinden P(X ≤ x), P(X > x) ve iki sınır arasındaki olasılığı hesaplar; yanında ortalama, varyans, standart sapma, medyan ve seçilmiş kantilleri verir. Ayrıca üstel dağılımın en ayırt edici özelliği olan hafızasızlığı somut sayılarla gösterir ve olasılık alanını gölgeli yoğunluk eğrisi üzerinde çizer. Güvenilirlik mühendisliği, kuyruk teorisi, hayatta kalma analizi ve operasyon araştırması derslerinde en sık kullanılan hesaplardan biridir.

İkisi birbirinin tersidir: saatte 0,25 olay ile ortalama 4 saat aynı dağılımdır.
Sıfırdan büyük olmalıdır. Örn. saatte ortalama 0,25 arıza.
Olasılığı sorulan süre ya da miktar. Negatif olamaz.
Doldurulursa P(x < X ≤ x₂) aralık olasılığı da hesaplanır.

Üstel Dağılım Formülleri

Yoğunluk:            f(x) = λ·e^(−λx),  x ≥ 0
Birikimli:           F(x) = P(X ≤ x) = 1 − e^(−λx)
Sağkalım:            P(X > x) = e^(−λx)
Aralık:              P(x₁ < X ≤ x₂) = e^(−λx₁) − e^(−λx₂)
Ortalama:            μ = 1 / λ
Varyans:             σ² = 1 / λ²
Standart sapma:      σ = 1 / λ = μ
Medyan:              m = ln2 / λ ≈ 0,6931 / λ
Kantil (ters CDF):   xq = −ln(1 − q) / λ
Hafızasızlık:        P(X > s + t | X > s) = P(X > t)

λ HIZ (rate) parametresidir, ölçek değil: ortalama 1/λ'dır. Üstel dağılım, sabit tehlike oranına (hazard rate) sahip tek sürekli dağılımdır; h(x) = f(x)/[1−F(x)] = λ her x için sabittir.

Nasıl Hesaplanır?

  1. Parametreyi hangi biçimde bildiğinizi seçin: birim zamandaki olay oranı (λ) ya da ortalama bekleme süresi (μ = 1/λ).
  2. Seçtiğiniz parametrenin değerini girin; ikisi birbirinin tersi olduğu için hangisini girerseniz girin sonuç aynıdır.
  3. Olasılığını merak ettiğiniz süre veya miktarı x alanına yazın (negatif olamaz).
  4. İki sınır arasındaki olasılığı da istiyorsanız aralık üst sınırını (x₂) doldurun; istemiyorsanız boş bırakın.
  5. Sonuçta P(X ≤ x), P(X > x), ortalama, varyans, medyan ve kantilleri birlikte okuyun; gölgeli alan hesaplanan olasılığı gösterir.
  6. Hafızasızlık satırını kontrol edin: koşullu olasılık ile P(X > x) eşitse model doğru kurulmuş demektir.

Örnek Hesaplamalar

Makine arızaları arası süre (λ = 0,25/saat)

Saatte ortalama 0,25 arıza (ortalama 4 saatte bir arıza) varsayımıyla, bir sonraki arızanın en geç 3 saat içinde çıkma olasılığı 0,5276 (%52,76), 3 saati aşma olasılığı 0,4724'tür. Arızanın 3 ile 6 saat arasında çıkma olasılığı 0,2492'dir. Ortalama 4 saat, medyan ise 2,77 saattir; dağılım sağa çarpık olduğu için yarı ömür ortalamadan kısadır.

P(X ≤ 3): 0,5276 · P(X > 3): 0,4724 · P(3 < X ≤ 6): 0,2492

Ortalama süreyle giriş: 8 dakikalık çağrı aralığı

Çağrılar arasında ortalama 8 dakika geçiyorsa λ = 0,125 olur. Bir sonraki çağrının 5 dakika içinde gelme olasılığı 0,4647 (%46,47), 5 dakikadan uzun sürede gelme olasılığı 0,5353'tür. Varyans 64, standart sapma 8 dakikadır — üstel dağılımda standart sapma daima ortalamaya eşittir.

P(X ≤ 5): 0,4647 · P(X > 5): 0,5353 · Yoğunluk f(5): 0,066908

Ampul ömrü: ortalamayı aşma olasılığı

Ortalama ömrü 1000 saat olan bir ampulün 1000 saatten fazla dayanma olasılığı yalnızca 0,3679'dur (e⁻¹); yani ampullerin yaklaşık %63,21'i ortalamanın altında bozulur. Ömrün 1000–2000 saat arasında kalma olasılığı 0,2325, medyan ömür ise 693,15 saattir.

P(X ≤ 1.000): 0,6321 · P(X > 1.000): 0,3679 · P(1.000 < X ≤ 2.000): 0,2325

Sıkça Sorulan Sorular

Üstel dağılımın hafızasızlık özelliği ne anlama gelir?
Hafızasızlık, P(X > s + t | X > s) = P(X > t) eşitliğidir: sistem ne kadar süredir çalışıyor olursa olsun, bundan sonraki t birim daha dayanma olasılığı değişmez. Bir ampul 500 saat yandıysa, kalan ömrünün dağılımı yepyeni bir ampulünkiyle aynıdır. Bu özellik yalnızca üstel (sürekli) ve geometrik (kesikli) dağılımlarda görülür ve yıpranma söz konusuysa gerçekçi değildir.
λ mı yoksa ortalama mı girmeliyim?
İkisi de aynı dağılımı tanımlar; hangisini biliyorsanız onu girin. λ birim zamandaki olay sayısıdır (saatte 0,25 arıza), ortalama ise olaylar arası beklenen süredir (4 saat). Aralarındaki bağıntı μ = 1/λ'dır. En sık yapılan hata, ortalamayı λ alanına yazmaktır; bu, olasılıkları tamamen ters çevirir.
Üstel dağılım ile Poisson dağılımı arasındaki ilişki nedir?
İkisi aynı sürecin iki yüzüdür. Bir Poisson sürecinde birim zamandaki olay SAYISI Poisson(λ) dağılırken, ardışık iki olay arasındaki SÜRE Exp(λ) dağılır. Örneğin saatte ortalama 3 çağrı geliyorsa (Poisson, λ = 3), çağrılar arası süre üstel dağılır ve ortalaması 1/3 saat = 20 dakikadır.
Excel, SPSS ve R'da aynı sonucu nasıl alırım?
Excel'de `=ÜSTEL.DAĞ(x; lambda; DOĞRU)` P(X ≤ x) verir, YANLIŞ argümanı ise yoğunluğu döndürür. R'da `pexp(x, rate = lambda)` ve `qexp(q, rate = lambda)` kullanılır — R'ın `rate` parametresi bu araçtaki λ ile aynıdır. Python'da `scipy.stats.expon(scale = 1/lambda)` yazılır; SciPy ÖLÇEK parametresi aldığı için λ değil 1/λ girilmelidir.
Neden medyan ortalamadan küçük çıkıyor?
Üstel dağılım belirgin biçimde sağa çarpıktır (çarpıklık katsayısı daima 2'dir): çoğu gözlem küçük, az sayıda gözlem çok büyüktür ve bu büyük değerler ortalamayı yukarı çeker. Medyan ln2/λ ≈ 0,693·μ olduğundan ortalamanın yaklaşık %69'una denk gelir. Bu yüzden bekleme süresi verilerini özetlerken medyan çoğu zaman daha temsili bir merkez ölçüsüdür.
Üstel dağılım ne zaman uygun değildir?
Olay hızı zamanla değişiyorsa uygun değildir. Yıpranan parçalarda arıza hızı artar, 'bebek ölümleri' etkisinde ise başlangıçta yüksek olup sonra düşer; her iki durumda da Weibull dağılımı tercih edilir. Ayrıca birden çok aşamanın toplamı olan süreler (ör. arka arkaya k olayın tamamlanması) gamma/Erlang dağılımı gösterir. Verinin standart sapması ortalamasından belirgin biçimde farklıysa üstel varsayımı şüphelidir.
Sonuçtaki 'yoğunluk' değeri neden 1'den büyük olabiliyor?
Sürekli dağılımlarda f(x) bir olasılık değil, yoğunluktur; olasılık ancak eğrinin altındaki ALAN ile elde edilir. λ büyükse (ör. λ = 5) yoğunluk x = 0 civarında 5'e kadar çıkabilir, bu bir hata değildir. Tek bir noktanın olasılığı sürekli dağılımda tam olarak sıfırdır; bu yüzden P(X = x) yerine P(X ≤ x) veya aralık olasılığı sorulur.