Oran İçin Güven Aralığı Hesaplama

İstatistikSon güncelleme: 22 Ağustos 2026

Bir örneklemde gözlenen yüzde ("katılımcıların %32'si evet dedi") evrendeki gerçek oranın yalnızca bir tahminidir. Oran için güven aralığı, bu tahminin çevresine belirsizliği gösteren sınırlar koyar. Ankette hata payı, klinik çalışmada başarı yüzdesi, kalite kontrolde hatalı ürün oranı hep bu aralıkla raporlanır.

Bu araç aynı veriyi üç yöntemle birlikte hesaplar. Varsayılan yöntem Wilson skor aralığıdır: sınırları hiçbir zaman 0–1 dışına taşmaz, p̂ = 0 ya da p̂ = 1 olduğunda çökmez ve küçük örneklemlerde hedeflenen kapsama oranını klasik Wald yaklaşımından çok daha iyi tutturur. Wald aralığı karşılaştırma için hesaplanır; Agresti-Coull ise Wald'ın kolay düzeltilmiş hâlidir. Karşılaştırma tablosu, aynı n için başarı sayısı uç değerlere (0 ve n) gittiğinde Wald'ın sıfır genişlikte bir aralığa çökerken Wilson'ın makul bir aralık üretmeye devam ettiğini sayısal olarak gösterir.

İncelenen özelliği taşıyan gözlem sayısı; oran x/n olarak hesaplanır.
Denemelerin ya da katılımcıların toplam sayısı.
Aralığın gerçek parametreyi kapsama olasılığı.
Seçilen yöntem sonucun başında vurgulanır; üç yöntem de her durumda hesaplanır.
Aralığın bu değeri kapsayıp kapsamadığı raporlanır. %50 için 0,5 girin; boş bırakabilirsiniz.

Yöntemlere Göre Kapsama Davranışı

Aynı veriye uygulanan farklı oran aralıkları farklı genişlik ve farklı gerçek kapsama oranı üretir. Aşağıdaki değerler %95 güven düzeyi içindir.

z kritik değeri (%95)
1,9600
Üç yöntemde de aynı kritik değer kullanılır
z kritik değeri (%90 / %99)
1,6449 / 2,5758
Güven düzeyi yükseldikçe aralık genişler
Wald, x = 0 veya x = n iken
Sıfır genişlik
p̂(1−p̂) = 0 olduğu için standart hata 0 çıkar ve aralık tek noktaya çöker
Wilson, n = 10 ve x = 0 iken
%0,00 – %27,75
Hiç olay gözlenmese de üst sınır sıfır değildir
Wilson, n = 10 ve x = 10 iken
%72,25 – %100,00
Tam başarıda bile alt sınır %100 değildir
Wald güvenilirlik kuralı
x ≥ 5 ve n − x ≥ 5
Tercihen her iki sayım da 10'un üzerinde olmalıdır; altında kalındığında Wilson kullanın

Binom dağılımı ve standart normal yaklaşımdan türeyen, zamana bağlı değişmeyen değerlerKaynak: Wilson (1927) skor aralığı; Agresti & Coull (1998); Brown, Cai & DasGupta (2001) kapsama karşılaştırmaları

Oran İçin Güven Aralığı Formülleri

Örneklem oranı:   p̂ = x / n
Wald:             GA = p̂ ± z(1−α/2) · √( p̂(1 − p̂) / n )
Wilson merkezi:   c = (p̂ + z² / 2n) / (1 + z² / n)
Wilson yarı gen.: h = z / (1 + z²/n) · √( p̂(1 − p̂)/n + z² / 4n² )
Wilson:           GA = c ± h
Agresti-Coull:    ñ = n + z²,  p̃ = (x + z²/2) / ñ
                  GA = p̃ ± z · √( p̃(1 − p̃) / ñ )
Genişlik:         G = üst sınır − alt sınır

Wald aralığı p̂ etrafında simetriktir ve p̂(1−p̂) = 0 olduğunda sıfır genişliğe çöker; Wilson aralığı ise skor istatistiğinin eşitsizliğini p için çözerek elde edildiğinden hem 0–1 sınırları içinde kalır hem de uç oranlarda çökmez.

Nasıl Hesaplanır?

  1. Olay (başarı) sayısını ve toplam gözlem sayısını girin; oran x/n olarak hesaplanır.
  2. Güven düzeyini seçin — akademik çalışmalarda standart tercih %95'tir.
  3. Öne çıkarılacak yöntemi belirleyin; küçük örneklem ve uç oranlarda Wilson önerilir.
  4. İsterseniz bir karşılaştırma oranı girin (örneğin %50 için 0,5); aralığın bu değeri kapsayıp kapsamadığı raporlanır.
  5. Wilson, Wald ve Agresti-Coull aralıklarını genişlikleriyle birlikte karşılaştırın.
  6. Alt tablodan aynı n için uç başarı sayılarında (0 ve n) Wald'ın nasıl çöktüğünü inceleyin ve raporlayacağınız yönteme karar verin.

Örnek Hesaplamalar

Küçük örneklemde Wilson ile Wald farkı

25 gözlemin 8'inde olay görüldü; p̂ = %32,00. Wilson aralığı %17,21 – %51,59 (34,38 puan genişlik), Wald aralığı ise %13,71 – %50,29 (36,57 puan) çıkar. Agresti-Coull aralığı %17,06 – %51,73 ile Wilson'a çok yakındır. Wilson aralığı %50 değerini kapsadığı için oranın %50'den farklı olduğu gösterilememiştir.

Wilson skor %95 güven aralığı: %17,21 – %51,59 · Örneklem oranı (p̂): %32,00 · Aralık %50,00 değerini kapsıyor mu?: Evet — fark anlamlı değil

Hiç olay gözlenmediğinde (0/n)

20 denemede hiç olay gözlenmedi; p̂ = %0,00. Wald aralığı %0,00 – %0,00 yani tek bir noktaya çöker ve "risk kesinlikle sıfırdır" gibi yanlış bir izlenim verir. Wilson aralığı ise %0,00 – %16,11 olur: 20 gözlemle gerçek oranın %16'ya kadar çıkabileceği dışlanamaz.

Wilson skor %95 güven aralığı: %0,00 – %16,11 · Örneklem oranı (p̂): %0,00 · Wilson skor aralığı: %0,00 – %16,11

Büyük anket örneklemi (%95 hata payı)

400 katılımcının 220'si evet dedi; p̂ = %55,00. Wald aralığı %50,12 – %59,88, Wilson aralığı %50,10 – %59,80'dir; iki yöntem büyük örneklemde neredeyse aynı sonucu verir. Aralık %50 değerini kapsamadığı için evet oranının %50'den farklı olduğu α = 0,05 düzeyinde anlamlıdır.

Wald %95 güven aralığı: %50,12 – %59,88 · Örneklem oranı (p̂): %55,00 · Aralık %50,00 değerini kapsıyor mu?: Hayır — fark anlamlı

Sıkça Sorulan Sorular

Neden Wald yerine Wilson öneriliyor?
Wald aralığı p̂ ± z·√(p̂(1−p̂)/n) formülüyle p̂ etrafında simetriktir ve üç ciddi sorunu vardır: küçük n'de gerçek kapsama oranı nominal düzeyin çok altına düşer, sınırları 0–1 dışına taşabilir ve p̂ = 0 ya da 1 olduğunda sıfır genişlikte bir noktaya çöker. Wilson skor aralığı bu üç sorunun hiçbirini yaşamaz ve n = 10 gibi küçük örneklemlerde bile makul kapsama sağlar.
Hiç olay gözlenmediyse (x = 0) oran gerçekten sıfır mıdır?
Hayır. x = 0 yalnızca örneklemde olay görülmediğini söyler; evrendeki oranın sıfır olduğunu göstermez. Wald bu durumda [0; 0] aralığını üretir ve yanıltıcıdır. Wilson aralığının üst sınırı n büyüdükçe küçülür; kaba "üçler kuralı" da benzer bir sonuç verir: x = 0 iken %95 üst sınır yaklaşık 3/n'dir (n = 20 için yaklaşık %15).
Agresti-Coull aralığı ne zaman kullanılır?
Agresti-Coull, "iki başarı iki başarısızlık ekle" mantığıyla Wald formülünü düzeltir: x'e z²/2, n'ye z² eklenip aynı formül uygulanır. Wilson kadar iyi kapsama sağlar, elle hesaplaması daha kolaydır ve ders kitaplarında yaygın olarak önerilir. Sınırları Wilson'a çok yakın çıkar; hangisini raporladığınızı belirtmek yeterlidir.
Clopper-Pearson (kesin) aralık daha mı iyidir?
Clopper-Pearson binom dağılımının kendisinden türetilir ve kapsama oranı hiçbir zaman nominal düzeyin altına düşmez; bu nedenle güvenlik açısından kritik uygulamalarda tercih edilir. Bedeli, aralığın gereğinden geniş (muhafazakâr) olmasıdır. Rutin raporlamada Wilson, kapsama ile genişlik arasında daha dengeli bir seçimdir.
Anketlerdeki "±3 puan hata payı" ile bu aralık aynı şey mi?
Evet, aynı hesaptır: hata payı z·√(p̂(1−p̂)/n) ile bulunur ve en geniş değerine p̂ = %50'de ulaşır. n = 1.000 için %95 hata payı en fazla ±3,1 puandır. Bu rakam yalnızca örnekleme hatasını kapsar; katılım reddi, soru sırası ve örnekleme çerçevesi hataları aralığa dâhil değildir.
Excel, SPSS ve R'de bu aralıkları nasıl alırım?
R'de prop.test(x, n) Wilson (süreklilik düzeltmeli) aralığını, binom.test(x, n) Clopper-Pearson aralığını verir; düzeltmesiz Wilson için prop.test(x, n, correct = FALSE) kullanılır. SPSS'te Analyze → Descriptive Statistics → Frequencies varsayılan olarak aralık vermez; Bootstrap eklentisi ya da özel sözdizimi gerekir. Excel'de yerleşik bir Wilson fonksiyonu yoktur, formülü elle kurmak gerekir.
Aralık 0–1 dışına taşarsa ne yapmalıyım?
Bu yalnızca Wald aralığında olur ve yöntemin uygun olmadığının açık işaretidir. Sınırı 0 ya da 1'e kırpmak sorunu gizler, çözmez: kırpılmış aralığın gerçek kapsama oranı hâlâ düşüktür. Doğru yaklaşım Wilson, Agresti-Coull ya da Clopper-Pearson aralığına geçmektir.