Ortalama İçin Güven Aralığı Hesaplama

İstatistikSon güncelleme: 22 Ağustos 2026

Örneklem ortalaması tek başına bir nokta tahminidir ve örnekleme rastlantısından doğan belirsizliği gizler. Ortalama için güven aralığı, evrendeki gerçek ortalamanın makul olarak hangi sınırlar arasında olabileceğini gösterir: "ortalama 27,73" yerine "ortalama 27,73; %95 GA [24,86; 30,61]" demek okuyucuya tahminin hassasiyetini de bildirir.

Bu araç iki farklı giriş biçimini destekler: ham veriyi doğrudan yapıştırabilir ya da elinizde yalnızca özet istatistikler (x̄, s, n) varsa onları girebilirsiniz. Evren standart sapması (σ) bilinmiyorsa kritik değer t dağılımından, biliniyorsa z dağılımından alınır; bu seçim otomatik yapılır ve hangi dağılımın kullanıldığı sonuçta açıkça yazılır. Ölçme, kalite kontrol, sağlık ve sosyal bilim araştırmalarında ortalama raporlanırken güven aralığının birlikte verilmesi APA 7 ve çoğu dergi tarafından beklenir.

Ham veri girilirse ortalama ve standart sapma araç tarafından hesaplanır.
Sayıları virgül, boşluk veya alt alta yazabilirsiniz. Ondalık ayırıcı olarak virgül kullanabilirsiniz (3,14).
Uygulamada σ neredeyse hiçbir zaman bilinmez; standart seçim t dağılımıdır.
Aralığın gerçek parametreyi kapsama olasılığı.

Kritik Değerler (t ve z)

Aralığın genişliğini kritik değer ile standart hata belirler. Evren standart sapması bilinmediğinde kullanılan t kritik değerleri serbestlik derecesine bağlıdır ve örneklem büyüdükçe z değerine yaklaşır.

z (%90 güven)
1,6449
α = 0,10; en dar aralık
z (%95 güven)
1,9600
α = 0,05; akademik standart
z (%99 güven)
2,5758
α = 0,01; %95 aralığından yaklaşık %31 daha geniş
t (%95, sd = 9)
2,2622
n = 10 — küçük örneklemde aralık belirgin biçimde genişler
t (%95, sd = 24)
2,0639
n = 25
t (%95, sd = 99)
1,9842
n = 100 — z değerine yaklaşmış durumda
Hata payı – örneklem ilişkisi
1 / √n
Aralığı yarıya indirmek için örneklemi yaklaşık dört katına çıkarmak gerekir

Standart normal ve Student t dağılımlarından türeyen, zamana bağlı değişmeyen değerlerKaynak: Standart normal (z) ve Student t dağılım tabloları; APA Yayım Kılavuzu (7. baskı) güven aralığı raporlama önerisi

Ortalama İçin Güven Aralığı

σ bilinmiyorsa:   GA = x̄ ± t(1−α/2; n−1) · s / √n
σ biliniyorsa:    GA = x̄ ± z(1−α/2) · σ / √n
Standart hata:    SH = s / √n   (ya da σ / √n)
Hata payı:        HP = kritik değer × SH
Aralık genişliği: G = 2 · HP
Serbestlik der.:  sd = n − 1
Ortalama:         x̄ = Σxᵢ / n
Standart sapma:   s = √[ Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ]

Kritik değer seçimi otomatiktir: σ girilmediğinde t, girildiğinde z kullanılır. t dağılımı, s'nin σ yerine kullanılmasından doğan ek belirsizliği kalın kuyruklarıyla telafi eder; bu yüzden aynı güven düzeyinde z'den daha geniş aralık verir.

Nasıl Hesaplanır?

  1. Giriş biçimini seçin: ham veriyi yapıştıracaksanız "Ham veri", elinizde yalnızca özet varsa "Özet istatistik".
  2. Ham veri modunda değerleri virgül, boşluk veya alt alta yazın; ortalama ve standart sapma otomatik hesaplanır.
  3. Özet modunda n, x̄ ve s değerlerini girin (s, n−1 paydalı örneklem standart sapmasıdır).
  4. Evren standart sapmasını gerçekten biliyorsanız σ seçeneğini açın; bilmiyorsanız varsayılan t seçeneğinde bırakın.
  5. Güven düzeyini belirleyin — akademik çalışmalarda standart tercih %95'tir.
  6. Sonuçta hata payını, alt-üst sınırı, kullanılan kritik değeri ve serbestlik derecesini birlikte okuyun; gölgeli eğri aralığın dağılım üzerindeki karşılığını gösterir.

Örnek Hesaplamalar

Ham veriden %95 güven aralığı

15 ölçümün ortalaması 27,73, standart sapması 5,39 ve standart hatası 1,3920'dir. sd = 14 için t kritik değeri 2,1448 olduğundan hata payı ±2,986 ve %95 güven aralığı [24,748; 30,719] bulunur; aralık genişliği 5,971'dir.

%95 güven aralığı: [24,748; 30,719] · Alt sınır: 24,748 · Üst sınır: 30,719

Özet istatistikten (x̄, s, n) aralık

n = 25, x̄ = 24,5 ve s = 3,2 için standart hata 0,64'tür. sd = 24'te t kritik değeri 2,0639 olduğundan hata payı ±1,321 ve %95 güven aralığı [23,179; 25,821] olur — SPSS'in Explore çıktısıyla aynı değerler.

%95 güven aralığı: [23,179; 25,821] · Alt sınır: 23,179 · Üst sınır: 25,821

σ bilindiğinde z ile %99 aralık

Evren standart sapması σ = 8 bilindiğinde n = 100 için standart hata 0,8 ve z kritik değeri 2,5758'dir; hata payı ±2,061 ve %99 güven aralığı [47,939; 52,061] bulunur. Aynı veri σ bilinmiyor sayılıp t ile hesaplansaydı kritik değer 2,5758'in bir miktar üzerine çıkar ve aralık genişlerdi.

%99 güven aralığı: [47,939; 52,061] · Alt sınır: 47,939 · Üst sınır: 52,061

Sıkça Sorulan Sorular

Bu araç ile genel güven aralığı aracı arasındaki fark nedir?
Genel güven aralığı aracı yalnızca özet istatistik (n, x̄, s) ile çalışır ve ortalama modunda daima t kullanır. Bu araç ise ham veriyi doğrudan kabul eder, ortalama ile standart sapmayı kendisi hesaplar ve σ'nın bilinip bilinmediğine göre t/z seçimini otomatik yapar. Ayrıca aralık genişliği, güven düzeyi karşılaştırma tablosu ve gölgeli dağılım eğrisi gibi ek çıktılar verir.
t mi z mi kullanmalıyım?
Evren standart sapması σ biliniyorsa z, bilinmiyorsa t kullanılır. Uygulamada σ neredeyse hiçbir zaman bilinmediği için doğru seçim hemen her zaman t'dir. "n > 30 ise z kullanılır" kuralı bir yaklaşımdır; t zaten büyük örneklemlerde z'ye yakınsadığı için t kullanmak her durumda güvenlidir.
Güven aralığı "gerçek ortalama %95 olasılıkla bu aralıktadır" demek midir?
Teknik olarak hayır. Evren ortalaması sabit bir sayıdır; rastgele olan, örnekleme bağlı olarak değişen aralığın kendisidir. %95, yöntemin uzun vadeli kapsama oranıdır: aynı evrenden aynı büyüklükte örneklemler tekrar tekrar çekilseydi kurulan aralıkların yaklaşık %95'i gerçek ortalamayı içerirdi.
Aralığı daraltmak için ne yapabilirim?
Üç etken vardır: örneklem büyüklüğü, verideki değişkenlik ve güven düzeyi. En sağlıklı yol örneklemi büyütmektir; hata payı 1/√n ile azaldığı için aralığı yarıya indirmek örneklemi yaklaşık dört katına çıkarmayı gerektirir. Güven düzeyini %95'ten %90'a düşürmek aralığı daraltır ama yanılma riskini artırır ve raporda mutlaka belirtilmelidir.
Verim normal dağılmıyorsa sonuç geçersiz mi olur?
Aralık, verinin değil ortalamanın örnekleme dağılımının normal olmasını gerektirir. Merkezî limit teoremi sayesinde n büyüdükçe bu koşul çarpık verilerde bile yaklaşık olarak sağlanır; kabaca n ≥ 30 yeterli sayılır. Küçük ve belirgin çarpık örneklemlerde ya da güçlü aykırı değerler varsa önyükleme (bootstrap) aralığı veya medyan tabanlı yöntemler tercih edilmelidir.
Excel, SPSS ve R'de aynı sonucu nasıl alırım?
Excel'de hata payı =T.TERS.2K(0,05; n−1)*s/KAREKÖK(n) ya da doğrudan =GÜVENİLİRLİK.T(0,05; s; n) ile bulunur. SPSS'te Analyze → Descriptive Statistics → Explore çıktısındaki "95% Confidence Interval for Mean" satırı aynı değerleri verir. R'de t.test(x)$conf.int tek satırda aynı aralığı döndürür.
Güven aralığı ile hipotez testi arasındaki bağ nedir?
%95 güven aralığı, sınanan değeri (μ₀) kapsamıyorsa iki yönlü tek örneklem t testi p < 0,05 sonucunu verir; kapsıyorsa p ≥ 0,05 bulunur. Bu yüzden aralık hem anlamlılık bilgisini hem de etkinin büyüklüğü ve hassasiyeti hakkındaki bilgiyi tek satırda taşır ve p değerinden daha çok bilgi verir.