Varyans ve Standart Sapma İçin Güven Aralığı Hesaplama

İstatistikSon güncelleme: 22 Ağustos 2026

Ortalama için kurulan güven aralıkları tahminin etrafında simetriktir; varyans için kurulanlar değildir. Bunun nedeni (n−1)s²/σ² niceliğinin ki-kare dağılımına uymasıdır ve ki-kare dağılımı sağa çarpıktır. Sonuç olarak varyansın üst sınırı, alt sınırından çok daha uzaktadır: değişkenliğin gerçekte tahmin edilenden büyük olma ihtimali, küçük olma ihtimalinden daha geniş bir alan kaplar.

Bu araç ham veriden ya da özet istatistikten (n ve s veya s²) yola çıkarak hem σ² hem σ için güven aralığını hesaplar, kullanılan iki ki-kare kritik değerini ve aralığın ne kadar asimetrik olduğunu gösterir. Ölçüm tekrarlanabilirliği, süreç kontrolü, laboratuvar kalibrasyonu ve test geliştirme çalışmalarında değişkenliğin kendisi asıl ilgi konusudur; bu tür çalışmalarda standart sapmanın nokta tahmini değil, aralığı raporlanmalıdır.

Sayıları virgül, boşluk veya alt alta yazabilirsiniz. Ondalık ayırıcı olarak virgül kullanabilirsiniz (10,2).
Aralığın gerçek parametreyi kapsama olasılığı.

Ki-Kare Kritik Değerleri (%95 Güven, α/2 = 0,025)

Varyans aralığının iki ucu aynı payı (n−1)s² farklı ki-kare kritik değerlerine bölerek elde edilir. Sol ve sağ kritik değer arasındaki büyük fark, aralığın neden asimetrik olduğunu doğrudan gösterir.

sd = 9 (n = 10)
2,7004 ve 19,0228
Sağ kritik değer solun yaklaşık 7 katı — aralık çok asimetrik
sd = 14 (n = 15)
5,6287 ve 26,1189
Oran yaklaşık 4,6'ya iner
sd = 19 (n = 20)
8,9065 ve 32,8523
Oran yaklaşık 3,7
sd = 24 (n = 25)
12,4012 ve 39,3641
Oran yaklaşık 3,2
sd = 29 (n = 30)
16,0471 ve 45,7223
Oran yaklaşık 2,8 — asimetri azalmaya devam eder
Asimetrinin kaynağı
Ki-kare sağa çarpık
sd büyüdükçe dağılım simetriye yaklaşır ve aralık ortalama aralıkları gibi görünmeye başlar

Ki-kare dağılımından türeyen, zamana bağlı değişmeyen kritik değerlerKaynak: Ki-kare (χ²) dağılım tabloları; Excel KİKARE.TERS ve KİKARE.TERS.SAĞK fonksiyonlarıyla aynı değerler

Varyans ve Standart Sapma İçin Güven Aralığı

Temel nicelik:   (n − 1)·s² / σ²  ~  χ²(n − 1)
Varyans:         [ (n−1)s² / χ²_{α/2} ,  (n−1)s² / χ²_{1−α/2} ]
                 χ²_{α/2}: sağ kuyruk alanı α/2 olan BÜYÜK kritik değer
                 χ²_{1−α/2}: sağ kuyruk alanı 1−α/2 olan KÜÇÜK kritik değer
Standart sapma:  [ √(alt sınır) ,  √(üst sınır) ]
Serbestlik der.: sd = n − 1
Örneklem var.:   s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)
Asimetri oranı:  (üst − s²) / (s² − alt)

Aralık s² etrafında simetrik değildir çünkü ki-kare dağılımı sağa çarpıktır ve merkezî alanı ayıran iki kritik değer merkeze eşit uzaklıkta değildir. Serbestlik derecesi büyüdükçe asimetri azalır ama hiçbir zaman tamamen kaybolmaz.

Nasıl Hesaplanır?

  1. Giriş biçimini seçin: ham veriyi yapıştırın ya da n ile s (veya s²) değerini girin.
  2. Özet modunda girdiğiniz değerin standart sapma mı varyans mı olduğunu belirtin.
  3. Güven düzeyini seçin; akademik raporlamada standart tercih %95'tir.
  4. Normallik varsayımını mutlaka kontrol edin: ham veri girdiğinizde Shapiro-Wilk sonucu ve Q-Q grafiği sonuçta yer alır.
  5. σ² ve σ aralıklarını birlikte okuyun; raporlarda genellikle σ aralığı tercih edilir çünkü ölçüm birimiyle aynıdır.
  6. Alt ve üst sınırın s²'ye uzaklıklarını karşılaştırarak aralığın ne kadar asimetrik olduğunu görün.

Örnek Hesaplamalar

Ham ölçüm verisinde standart sapma aralığı

12 ölçümün standart sapması 0,2778 ve varyansı 0,0772'dir. sd = 11 için ki-kare kritik değerleri 3,8157 ve 21,9200 olduğundan σ² için %95 aralık [0,0387; 0,2225], σ için [0,1968; 0,4717] bulunur. Üst sınır s²'den 0,1453 uzaktayken alt sınır yalnızca 0,0385 uzaktadır: aralık üst tarafa doğru 3,78 kat daha uzundur. Shapiro-Wilk testi W = 0,9794; p = 0,981 ile normallik varsayımını desteklemektedir.

Varyans (σ²) için %95 güven aralığı: [0,0387; 0,2225] · Standart sapma (σ) için %95 güven aralığı: [0,1968; 0,4717] · Örneklem varyansı (s²): 0,0772

Özet istatistikten varyans aralığı

n = 25 ve s = 3,2 için varyans 10,24, sd = 24 ve ki-kare kritik değerleri 12,4012 ile 39,3641'dir. σ² için %95 güven aralığı [6,2433; 19,8175], σ için [2,4987; 4,4517] olur. Standart sapmanın nokta tahmini 3,2 olsa da evren değerinin 2,50 ile 4,45 arasında olabileceği görülür; asimetri oranı 2,40'tır.

Varyans (σ²) için %95 güven aralığı: [6,2433; 19,8175] · Standart sapma (σ) için %95 güven aralığı: [2,4987; 4,4517] · Örneklem varyansı (s²): 10,2400

Küçük örneklemde aralığın genişliği

n = 10 ve s² = 25 (s = 5) girildiğinde sd = 9 için %99 ki-kare kritik değerleri 1,7349 ile 23,5894'tür. σ² için aralık [9,5382; 129,6880], σ için [3,0884; 11,3881] çıkar: 10 gözlemle standart sapmanın 3,09 ile 11,39 arasında herhangi bir değer olabileceği dışlanamaz. Asimetri oranı 6,77 ile aralık üst tarafa aşırı derecede uzamıştır.

Varyans (σ²) için %99 güven aralığı: [9,5382; 129,6880] · Standart sapma (σ) için %99 güven aralığı: [3,0884; 11,3881] · Örneklem varyansı (s²): 25,0000

Sıkça Sorulan Sorular

Varyansın güven aralığı neden simetrik değil?
Çünkü aralık, ortalamalarda olduğu gibi "tahmin ± hata payı" biçiminde kurulmaz. (n−1)s²/σ² niceliği ki-kare dağılımına uyar ve bu dağılım sağa çarpıktır; merkezî alanı ayıran iki kritik değer dağılımın merkezine eşit uzaklıkta değildir. Sabit bir pay olan (n−1)s² bu iki farklı değere bölündüğünde ortaya doğal olarak asimetrik bir aralık çıkar ve üst sınır tahminden her zaman daha uzakta kalır.
Normallik varsayımı gerçekten bu kadar kritik mi?
Evet. Ortalama için kurulan aralıklar merkezî limit teoremi sayesinde normallikten sapmalara karşı dayanıklıdır; varyans aralığı değildir. Ki-kare yaklaşımı doğrudan verinin normalliğine dayanır ve özellikle basıklık normalden farklıysa gerçek kapsama oranı hedeflenen düzeyden ciddi biçimde sapar. Örneklemi büyütmek bu sorunu çözmez.
Normallik sağlanmıyorsa hangi yöntemi kullanmalıyım?
En pratik seçenek önyükleme (bootstrap) güven aralığıdır: veriden yerine koyarak tekrar tekrar örneklem çekilir, her birinde varyans hesaplanır ve elde edilen dağılımın yüzdelikleri aralık olarak kullanılır. Alternatif olarak veriyi normalleştiren bir dönüşüm (logaritma, karekök) uygulanabilir; bu durumda sonuçlar dönüştürülmüş ölçekte yorumlanır.
σ² aralığının karekökünü almak σ aralığını doğru verir mi?
Evet. Karekök tek yönlü artan (monoton) bir dönüşümdür; bu nedenle σ² için %95 kapsama sağlayan bir aralığın karekökü σ için de %95 kapsama sağlar. Ancak nokta tahmini için aynı şey geçerli değildir: s, σ'nın yansız tahmincisi değildir (s² yansızdır), bu yüzden küçük örneklemlerde standart sapma bir miktar düşük tahmin edilir.
Excel, SPSS ve R'de bu aralığı nasıl hesaplarım?
Excel'de alt sınır =(n-1)*VAR.S(veri)/KİKARE.TERS.SAĞK(0,025; n-1), üst sınır ise paydada KİKARE.TERS.SAĞK(0,975; n-1) kullanılarak bulunur. SPSS bu aralığı standart menülerde vermez; sözdizimi ya da özel makro gerekir. R'de (n-1)*var(x)/qchisq(c(0.975, 0.025), n-1) tek satırda alt ve üst sınırı döndürür.
Örneklem büyüklüğü aralığı nasıl etkiler?
İki yönden: aralık daralır ve asimetri azalır. n = 10'da sağ ve sol ki-kare kritik değerlerinin oranı yaklaşık 7 iken n = 30'da yaklaşık 2,8'e iner. Buna rağmen varyans aralıkları ortalama aralıklarından her zaman daha geniştir; değişkenliği hassas tahmin etmek ortalamayı tahmin etmekten daha çok gözlem gerektirir.
İki grubun varyansını karşılaştırmak için de bu araç kullanılır mı?
Hayır. Tek bir grubun σ² değerini tahmin eder. İki varyansın oranı için F dağılımına dayanan bir aralık, varyansların eşitliğini sınamak için ise Levene ya da Bartlett testi kullanılmalıdır. Levene testi normallikten sapmalara Bartlett'e göre çok daha dayanıklıdır ve uygulamada genellikle tercih edilir.