Permütasyon ve Kombinasyon Hesaplama

MatematikSon güncelleme: 17 Ağustos 2026

Permütasyon P(n, r), n elemanlı bir kümeden r elemanın SIRALI dizilişlerinin sayısıdır; kombinasyon C(n, r) ise sıra gözetmeksizin yapılan SEÇİMLERİN sayısıdır. Üç kişiden başkan ve yardımcı seçmek permütasyon (sıra önemli), üç kişiden iki temsilci seçmek kombinasyondur (sıra önemsiz).

Bu araç her iki değeri aynı anda hesaplar, aralarındaki r! katlık ilişkiyi gösterir ve n ≤ 20 için C(n, r) değerlerinin dağılım grafiğini (Pascal üçgeni satırı) çizer. Sonuçlar 170'e kadar olan n değerleri için tam sayı olarak hesaplanır; çok büyük sonuçlar bilimsel gösterimle sunulur.

Aralarından seçim veya sıralama yapılacak toplam eleman sayısı.
Sıralanacak ya da seçilecek eleman sayısı (r ≤ n olmalı).

Formül

P(n, r) = n! / (n − r)! = n × (n−1) × ... × (n−r+1)
C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!)
P(n, r) = C(n, r) × r!

Sıra ÖNEMLİYSE permütasyon, önemsizse kombinasyon kullanılır. 'Kaç farklı şifre?' sorusu permütasyon, 'kaç farklı ekip?' sorusu kombinasyondur; ikisini karıştırmak en sık yapılan hatadır.

Nasıl Hesaplanır?

  1. Toplam eleman sayısını (n) girin — örneğin sınıftaki 10 öğrenci.
  2. Seçilecek ya da sıralanacak eleman sayısını (r) girin.
  3. Sıra önemliyse P(n, r), önemsizse C(n, r) sonucunu okuyun.
  4. Tablo ve grafikle diğer r değerlerinin sonuçlarını karşılaştırın.

Örnek Hesaplamalar

5 kişiden 3 kişilik sıralama ve seçim

5 kişiden başkan, yardımcı ve sekreter seçmek (sıra önemli) P(5, 3) = 5 × 4 × 3 = 60 farklı şekilde; sadece 3 kişilik ekip kurmak (sıra önemsiz) C(5, 3) = 10 farklı şekilde yapılabilir. Fark tam olarak 3! = 6 kattır.

Permütasyon P(5, 3) — sıralı diziliş: 60 · Kombinasyon C(5, 3) — sırasız seçim: 10 · Aradaki kat: P / C = r! = 3!: 6

10 takımlı ligde ilk iki sıra

10 takımdan şampiyon ve ikincinin belirlenmesi P(10, 2) = 90 farklı sonuç doğurur; hangi iki takımın üst sırada bitireceği ise C(10, 2) = 45 farklı şekilde gerçekleşebilir.

Permütasyon P(10, 2) — sıralı diziliş: 90 · Kombinasyon C(10, 2) — sırasız seçim: 45 · Aradaki kat: P / C = r! = 2!: 2

Sayısal Loto: 49'da 6

49 sayıdan 6'sının seçildiği klasik lotoda sıra önemsizdir: C(49, 6) = 13.983.816 farklı kolon vardır; yani tek kolonun altı sayıyı da tutturma olasılığı 13.983.816'da birdir. Sıralı diziliş sayısı ise P(49, 6) = 10.068.347.520'dir.

Permütasyon P(49, 6) — sıralı diziliş: 10.068.347.520 · Kombinasyon C(49, 6) — sırasız seçim: 13.983.816 · Aradaki kat: P / C = r! = 6!: 720

Sıkça Sorulan Sorular

Permütasyon ile kombinasyon arasındaki fark nedir?
Permütasyonda seçilen elemanların sırası önemlidir, kombinasyonda değildir. A-B-C dizilişi ile C-B-A dizilişi permütasyonda iki ayrı sonuç, kombinasyonda tek bir seçimdir. Bu yüzden P(n, r) her zaman C(n, r)'nin r! katıdır.
Hangi soruda permütasyon, hangisinde kombinasyon kullanılır?
Soruda 'sıralama, diziliş, şifre, kaçıncı, görev dağılımı' geçiyorsa genellikle permütasyondur. 'Seçim, ekip, grup, komisyon, el (kart)' geçiyorsa kombinasyondur. Emin değilseniz iki seçimin yer değiştirmesinin yeni bir sonuç sayılıp sayılmadığını sorun.
C(n, 0) ve P(n, 0) neden 1'dir?
Hiç eleman seçmemenin tam olarak bir yolu vardır: boş seçim. Matematiksel olarak da 0! = 1 tanımı gereği her iki formül 1 sonucunu verir.
C(n, r) = C(n, n−r) eşitliği neden geçerlidir?
r eleman seçmek ile geriye kalacak n−r elemanı belirlemek aynı işlemdir. Örneğin 10 kişiden 8 kişi seçmek, dışarıda kalacak 2 kişiyi seçmekle özdeştir: C(10,8) = C(10,2) = 45.
Tekrarlı elemanlarda permütasyon nasıl hesaplanır?
n elemanın bazıları özdeşse diziliş sayısı n! / (n₁! × n₂! × ...) formülüyle bulunur; paydadaki değerler her özdeş grubun eleman sayısıdır. Örneğin 'ELMA' kelimesinin 4 farklı harfi 4! = 24 şekilde, 'ANNE' ise 4!/2! = 12 şekilde dizilir.
Neden n en fazla 170 olabiliyor?
170! yaklaşık 7,26 × 10³⁰⁶ ile bilgisayarların standart sayı sınırına dayanır. Araç bu aralıkta tam sonuç üretir; 15 basamağı aşan değerler bilimsel gösterimle ve toplam basamak sayısıyla birlikte gösterilir.