Regresyon Tahmin Aralığı Hesaplama

İstatistikSon güncelleme: 22 Ağustos 2026

Bir regresyon doğrusu belirli bir x₀ değeri için tek bir nokta tahmini verir; ancak bu tahminin ne kadar belirsiz olduğu, hangi soruyu sorduğunuza göre değişir. “x₀ değerine sahip TÜM birimlerin ortalama Y'si nedir?” sorusunun yanıtı ortalama yanıt güven aralığıdır. “x₀ değerine sahip YENİ bir birimin Y'si ne olur?” sorusunun yanıtı ise tahmin aralığıdır ve her zaman daha geniştir.

Bu araç iki aralığı yan yana hesaplar, farkı sayısal olarak gösterir ve kaldıraç değeri h₀ = 1/n + (x₀ − x̄)²/Sxx hesabını adım adım verir. Ayrıca x₀ gözlenen veri aralığının dışındaysa dış değerleme uyarısı üretir, gözlenen x aralığı boyunca her iki bandı birlikte çizer ve seçtiğiniz x noktaları için karşılaştırmalı bir tablo sunar.

Modelin kurulacağı X değerleri. Y ile aynı sırada ve aynı sayıda olmalıdır.
Her değer X alanındaki aynı sıradaki gözleme aittir.
Ortalama yanıt güven aralığı ve tekil gözlem tahmin aralığı bu nokta için hesaplanır.
Aralığın gerçek parametreyi kapsama olasılığı.

Ortalama Yanıt Güven Aralığı ve Tahmin Aralığı

Nokta tahmin:        ŷ₀ = b₀ + b₁·x₀
Kaldıraç:            h₀ = 1/n + (x₀ − x̄)² / Σ(xᵢ − x̄)²
Artık std. hatası:   RSE = √[ Σ(yᵢ − ŷᵢ)² / (n − 2) ]
Ortalama yanıt GA:   ŷ₀ ± t_(1−α/2, n−2) · RSE · √h₀
Tahmin aralığı:      ŷ₀ ± t_(1−α/2, n−2) · RSE · √(1 + h₀)
Genişlik oranı:      √((1 + h₀) / h₀)
En dar nokta:        x₀ = x̄ iken h₀ = 1/n (en küçük değer)

İki aralık arasındaki tek fark karekök içindeki 1 terimidir: ortalama yanıt aralığı yalnızca doğrunun konumundaki belirsizliği, tahmin aralığı ise buna ek olarak tekil gözlemin σ² varyanslı hata terimini taşır. Bu yüzden tahmin aralığı her zaman daha geniştir ve n → ∞ iken sıfıra daralmaz.

Nasıl Hesaplanır?

  1. X ve Y değerlerini aynı sırayla girin; her satır aynı gözleme ait olmalı ve iki alanda eşit sayıda değer bulunmalıdır.
  2. Tahmin yapmak istediğiniz x₀ değerini girin; mümkünse gözlenen X aralığının içinde bir değer seçin.
  3. Güven düzeyini seçin (%90, %95 veya %99); düzey yükseldikçe her iki aralık da genişler.
  4. Ortalama yanıt güven aralığı ile tekil gözlem tahmin aralığını karşılaştırın; hangi soruyu yanıtladığınıza göre doğru olanı raporlayın.
  5. Kaldıraç h₀ değerine bakın: 1/n'ye yakınsa x₀ veri merkezine yakındır ve tahmin güvenilirdir; büyükse x₀ uçlardadır ve aralıklar genişler.
  6. Bant grafiğinde iki bandın nasıl açıldığını inceleyin ve dış değerleme uyarısı varsa tahmini raporlamaktan kaçının.

Örnek Hesaplamalar

Reklam bütçesinden satış tahmini

ŷ = 26,724 + 2,840·x modelinde x₀ = 30 için nokta tahmin 111,912'dir. Kaldıraç h₀ = 0,0979 olduğundan ortalama yanıt aralığı 110,996 – 112,828 (genişlik 1,832) iken tekil gözlem tahmin aralığı 108,845 – 114,979'dur (genişlik 6,134): tahmin aralığı 3,35 kat daha geniştir.

Nokta tahmin (x₀ = 30,00): 111,912 · Ortalama yanıt %95 güven aralığı: 110,996 – 112,828 · Ortalama yanıt aralığının genişliği: 1,832

Veri merkezinden uzak nokta (kaldıraç artıyor)

Aynı modelde x₀ = 40 seçildiğinde x̄ = 26,3333'ten uzaklaşıldığı için kaldıraç 0,2858'e yükselir; nokta tahmin 140,308 olur ve ortalama yanıt aralığı 138,743 – 141,873 ile (genişlik 3,130) belirgin biçimde açılır. Tekil gözlem aralığı 136,989 – 143,627 (genişlik 6,639) olup artık yalnızca 2,12 kat daha geniştir: x̄'dan uzaklaştıkça iki aralık birbirine yaklaşır.

Nokta tahmin (x₀ = 40,00): 140,308 · Ortalama yanıt %95 güven aralığı: 138,743 – 141,873 · Ortalama yanıt aralığının genişliği: 3,130

Dış değerleme uyarısı

Gözlenen aralık 1 – 8 iken x₀ = 15 istendiğinde araç dış değerleme uyarısı verir. Nokta tahmin 59,000 olsa da kaldıraç 1/n = 0,125 tabanından 2,7500'e fırlar; ortalama yanıt aralığı 56,058 – 61,942 (genişlik 5,885), tahmin aralığı ise 55,564 – 62,436'dır (genişlik 6,872). Aradaki oran 1,17 kata iner: bu bölgede belirsizliğe artık doğrunun konumu egemendir ve model hiç sınanmadığı için sayılar biçimsel kalır.

Nokta tahmin (x₀ = 15,00): 59,000 · Ortalama yanıt %95 güven aralığı: 56,058 – 61,942 · Ortalama yanıt aralığının genişliği: 5,885

Sıkça Sorulan Sorular

Güven aralığı ile tahmin aralığı arasındaki fark nedir?
Güven aralığı bir PARAMETREYİ, yani x₀ değerine sahip birimlerin ortalama Y'sini kapsar. Tahmin aralığı ise gelecekte gözlenecek TEKİL bir Y değerini kapsar. Tekil gözlem hem doğrunun konumundaki belirsizlikten hem de kendi rastgele hatasından etkilendiği için tahmin aralığı her zaman daha geniştir. Karıştırılmaları regresyon raporlarındaki en yaygın hatalardan biridir.
Kaldıraç (h₀) ne anlama gelir?
h₀, x₀ noktasının veri merkezinden ne kadar uzak olduğunun ölçüsüdür ve tahminin belirsizliğini doğrudan belirler. En küçük değeri x₀ = x̄ iken 1/n'dir; x₀ uzaklaştıkça (x₀ − x̄)² terimi büyüdüğü için h₀ artar ve aralıklar genişler. Gözlenen bir noktanın kaldıracı 2(k+1)/n değerini aşıyorsa o gözlem etkili (influential) sayılır.
Örneklem büyütünce tahmin aralığı neden daralmıyor?
Ortalama yanıt aralığı RSE·√h₀ ile ölçeklenir ve h₀ ≥ 1/n olduğundan n büyüdükçe sıfıra yaklaşır. Tahmin aralığı ise RSE·√(1 + h₀) ile ölçeklenir; buradaki 1 terimi tekil gözlemin kendi hata varyansıdır ve örneklem büyütmekle azalmaz. Sonsuz veriyle bile bireysel bir sonucu yaklaşık ±t·RSE belirsizliğiyle tahmin edebilirsiniz.
Dış değerleme (ekstrapolasyon) neden riskli?
Model yalnızca gözlenen X aralığında sınanmıştır. Bu aralığın dışında ilişkinin aynı doğrusal biçimde süreceğinin hiçbir güvencesi yoktur: eğilim yassılaşabilir, doyuma ulaşabilir veya tersine dönebilir. Üstelik aralık formülleri modelin doğru olduğunu VARSAYARAK hesap yaptığı için, yanlış bölgede dar ve güven verici görünen aralıklar üretir. Araç bu durumda uyarı gösterir.
Aralık hangi varsayımlara dayanır?
Doğrusallık, hataların bağımsızlığı, sabit varyans (eşvaryanslılık) ve hataların normal dağılması. Sabit varyans bozulduğunda aralık bir bölgede fazla dar, başka bir bölgede fazla geniş olur; normallik bozulduğunda özellikle küçük örneklemlerde kapsama oranı düşer. Artık grafiğini denetlemeden aralıkları raporlamayın.
Excel, SPSS veya R ile aynı sonucu verir mi?
Evet. R'da predict(model, newdata, interval="confidence") ortalama yanıt aralığını, interval="prediction" ise tahmin aralığını aynı formülle verir. SPSS'te Regression → Save menüsündeki Mean ve Individual seçenekleri bu iki aralığa karşılık gelir. Excel'de hazır bir fonksiyon yoktur; TAHMİN ile nokta tahmin alınıp h₀ ve RSE elle hesaplanmalıdır.
%99 güven seçersem ne değişir?
Kritik t değeri büyür, dolayısıyla her iki aralık da genişler; kapsama güvenliği artarken tahminin kullanışlılığı azalır. Örneğin sd = 10 için t değeri %95'te 2,228 iken %99'da 3,169'a çıkar ve aralıklar yaklaşık %42 genişler. Raporlarda güven düzeyini her zaman açıkça belirtin.