Çoklu Doğrusal Regresyon Hesaplama

İstatistikSon güncelleme: 22 Ağustos 2026

Çoklu doğrusal regresyon, bir bağımlı değişkeni birden çok yordayıcıyla birlikte açıklamayı sağlar: ŷ = b₀ + b₁x₁ + … + b_k x_k. Her katsayı, diğer tüm yordayıcılar sabit tutulduğunda ilgili değişkendeki bir birimlik artışın bağımlı değişkende yarattığı ortalama değişimi verir. Bu 'diğerleri sabitken' yorumu, çoklu regresyonu basit regresyondan ayıran temel özelliktir.

Bu araç en küçük kareler çözümünü sayısal olarak kararlı QR ayrışımıyla kurar; her katsayı için standart hata, t, p ve güven aralığı üretir; modelin bütününü F testiyle sınar; R², düzeltilmiş R² ve artık standart hatasını raporlar. Ayrıca çoklu bağlantı için VIF, artıkların bağımsızlığı için Durbin-Watson istatistiği hesaplar ve artık grafiğiyle normal Q-Q grafiğini çizerek varsayım denetimini kolaylaştırır.

Açıklanmak istenen değişkenin gözlem değerleri.
Her satıra bir yordayıcı yazın. Satır başındaki "Ad:" bölümü değişken adı olarak kullanılır; yazılmazsa X1, X2 … adları verilir. Her satırda Y ile aynı sayıda değer olmalıdır.
Yanlış pozitif riskini belirler. Sosyal bilimlerde yaygın seçim %5'tir.
Aralığın gerçek parametreyi kapsama olasılığı.

Çoklu Doğrusal Regresyon Formülleri

Model:              ŷ = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + … + b_k x_k
EKK çözümü:         b = (XᵀX)⁻¹Xᵀy   (burada sayısal olarak QR ile çözülür)
Kareler:            SST = SSR + SSE ,  SSE = Σ(yᵢ − ŷᵢ)²
Belirlilik:         R² = 1 − SSE / SST
Düzeltilmiş:        R²_düz = 1 − (1 − R²)·(n − 1)/(n − k − 1)
Artık std. hatası:  RSE = √[ SSE / (n − k − 1) ]
Model testi:        F = (SSR/k) / (SSE/(n − k − 1)) ,  sd = k , n − k − 1
Katsayı testi:      t_j = b_j / SH(b_j) ,  sd = n − k − 1
Güven aralığı:      b_j ± t_(1−α/2) · SH(b_j)
Standart katsayı:   β_j = b_j · s_xⱼ / s_y
Çoklu bağlantı:     VIF_j = 1 / (1 − R²_j)
Otokorelasyon:      d = Σ(eₜ − eₜ₋₁)² / Σeₜ²

Çözüm normal denklemler yerine Householder QR ayrışımıyla kurulur; bu, birimleri çok farklı yordayıcılarda sayısal kararlılığı korur. Varsayımlar: doğrusallık, hataların bağımsızlığı, sabit varyans, hataların normalliği ve tam çoklu bağlantı bulunmaması.

Nasıl Hesaplanır?

  1. Bağımlı değişkenin (Y) değerlerini üst alana yapıştırın.
  2. Yordayıcı alanına her satıra bir değişken yazın; satır başına "Reklam:" gibi bir ad koyarsanız tablolarda bu ad kullanılır. Her satırda Y ile aynı sayıda değer olmalıdır.
  3. Anlamlılık düzeyi ile güven düzeyini seçin; katsayı güven aralıkları seçtiğiniz düzeye göre kurulur.
  4. Önce modelin bütününe bakın: F testi anlamlı değilse tekil katsayıları yorumlamanın anlamı yoktur.
  5. Katsayı tablosunda b, standart hata, β, t, p, güven aralığı ve VIF sütunlarını birlikte okuyun; VIF 10'u aşan değişkenlerde katsayı yorumu güvenilmezdir.
  6. Artık grafiği ile Q-Q grafiğini denetleyin; örüntü görüyorsanız değişken dönüşümü veya model değişikliği gerekir.

Örnek Hesaplamalar

Reklam ve fiyatın satışa etkisi

12 aylık veride model ŷ = 31,855 + 2,801·Reklam − 0,521·Fiyat çıkar. R² = 0,9979 ve F(2, 9) = 2.153,707 (p < 0,001) ile model bütün olarak anlamlıdır; reklam katsayısı t = 48,175 ile p < 0,001 düzeyinde anlamlıyken fiyat katsayısı p = 0,346 ile anlamlı değildir. VIF değerleri 1,81 olduğundan çoklu bağlantı sorunu yoktur ve Durbin-Watson 2,296'dır.

Regresyon denklemi: ŷ = 31,855 + 2,801·Reklam − 0,521·Fiyat · R² (belirlilik katsayısı): 0,9979 (%99,8) · Düzeltilmiş R²: 0,9975

Tek yordayıcı: basit regresyonla aynı sonuç

Tek yordayıcılı model ŷ = 50,033 + 2,096·Çalışma saati verir; R² = 0,4057, düzeltilmiş R² = 0,3463 ve F(1, 10) = 6,828 (p = 0,026) ile eğim anlamlıdır. Katsayının %95 güven aralığı 0,309 – 3,884'tür; bu değerler basit doğrusal regresyonla birebir aynıdır ve tek yordayıcıda VIF tanımı gereği 1'dir.

Regresyon denklemi: ŷ = 50,033 + 2,096·Çalışma saati · R² (belirlilik katsayısı): 0,4057 (%40,6) · Düzeltilmiş R²: 0,3463

Çoklu bağlantılı model (VIF uyarısı)

Aynı büyüklüğü iki farklı birimde ölçen iki yordayıcı konduğunda VIF 41.812,57'ye fırlar ve çoklu bağlantı uyarısı görüntülenir. Model R² = 0,9982 ve F(2, 7) = 1.985,428 (p < 0,001) ile kusursuz görünse de tekil katsayılar p = 0,480 ve p = 0,675 ile anlamsızlaşır: bağlantılı değişkenler birbirinin katkısını maskeler.

Regresyon denklemi: ŷ = -77,029 + 1,596·Boy − 2,381·BoyInc · R² (belirlilik katsayısı): 0,9982 (%99,8) · Düzeltilmiş R²: 0,9977

Sıkça Sorulan Sorular

R² mi yoksa düzeltilmiş R² mi raporlanmalı?
Modele her yeni yordayıcı eklendiğinde R² asla azalmaz; tamamen rastgele bir değişken bile onu bir miktar yükseltir. Düzeltilmiş R², yordayıcı sayısını cezalandırdığı için farklı sayıda değişken içeren modelleri karşılaştırırken doğru ölçüttür ve gereksiz değişken eklendiğinde düşebilir. Tek bir modeli tanımlarken ikisi birlikte raporlanır.
VIF kaç olursa çoklu bağlantı sorunu var demektir?
Yaygın kabul kuralına göre VIF < 5 sorunsuz, 5–10 dikkat gerektiren, 10'un üzeri ciddi çoklu bağlantı sayılır (tolerans = 1/VIF ölçütüyle 0,10'un altı). Yüksek VIF katsayıların kendisini değil, standart hatalarını şişirir: model iyi tahmin yapmaya devam eder ama hangi değişkenin etkili olduğunu ayırt edemezsiniz. Çözüm olarak değişkenlerden birini çıkarmak, ikisini bir bileşik ölçüye dönüştürmek veya ridge regresyon kullanmak düşünülebilir.
Model F testi anlamlı ama hiçbir katsayı anlamlı değil, neden?
Bu tipik bir çoklu bağlantı belirtisidir: yordayıcılar birlikte Y'yi iyi açıklar ama birbirlerini tekrarladıkları için hiçbirinin benzersiz katkısı ayırt edilemez. VIF sütununu kontrol edin. Aynı durum çok küçük örneklemlerde de görülebilir; her ek yordayıcı bir serbestlik derecesi tükettiği için testlerin gücü hızla düşer.
Kaç gözlem gerekir?
Matematiksel alt sınır n > k + 1'dir, ancak bu sınırda sonuçlar kullanılamaz. Yaygın kabaca kurallar yordayıcı başına 10–20 gözlem ya da n ≥ 50 + 8k biçimindedir. Örneklem küçüldükçe düzeltilmiş R² ile R² arasındaki fark açılır; bu fark modelin aşırı uyum (overfitting) riskini gösteren pratik bir göstergedir.
Durbin-Watson değeri nasıl yorumlanır?
d istatistiği 0 ile 4 arasındadır: 2 civarı artıklarda birinci dereceden otokorelasyon olmadığını, 2'nin belirgin altı pozitif, üstü negatif otokorelasyonu gösterir. Bu araç kaba eşikler (1,5 ve 2,5) kullanır; biçimsel karar için n ve k'ya bağlı d_L / d_U tabloları gerekir ve tablolar arasında kararsız bir bölge bulunur. Gözlemler zaman sırasında değilse d yorumlanmaz.
Kategorik değişkenleri modele nasıl eklerim?
Kategorik bir değişken doğrudan sayı olarak girilemez; kukla (dummy) kodlanmalıdır. İki kategorili bir değişken için 0/1 kodlu tek bir satır yeterlidir. Üç kategori için iki kukla satırı gerekir; referans kategoriye tüm kuklalarda 0 verilir ve katsayılar bu referansa göre yorumlanır. Tüm kategoriler için kukla eklerseniz tasarım matrisi tekilleşir ve model çözülemez.
Sonuçlar SPSS ve R ile aynı çıkar mı?
Evet. Katsayılar, standart hatalar, t ve p değerleri, R², düzeltilmiş R², F ve VIF; SPSS'in Regression → Linear çıktısı ile R'ın lm() ve car::vif() sonuçlarıyla aynıdır. Çözüm QR ayrışımıyla yapıldığı için R'ın lm() yordamıyla sayısal olarak da aynı yol izlenir; farklar yalnızca yuvarlama düzeyindedir.