Anderson-Darling Testi Hesaplama

İstatistikSon güncelleme: 22 Ağustos 2026

Anderson-Darling testi, ampirik dağılım ile kuramsal normal dağılım arasındaki farkı kuyruklara ağırlık vererek ölçen bir uyum iyiliği testidir. Kolmogorov-Smirnov yalnızca en büyük tek sapmaya bakarken Anderson-Darling tüm dağılım boyunca birikmiş farkı toplar ve uç bölgelerdeki sapmayı daha ağır cezalandırır; bu yüzden kalın kuyruk, aykırı değer ve uç yığılma gibi sorunlara belirgin biçimde daha duyarlıdır.

Bu araç ham A² istatistiğini, küçük örneklem düzeltmeli A*² değerini, yaklaşık p değerini ve Stephens (1974) kritik değer tablosunun beş düzeyini (%15, %10, %5, %2,5, %1) birlikte verir. Aynı veri üzerinde Kolmogorov-Smirnov testini de çalıştırıp sonuçları yan yana koyar; böylece iki testin neden farklı kararlar verebildiğini sayısal olarak görürsünüz. Kalite kontrol yazılımlarında (Minitab, JMP) normallik için varsayılan test budur.

En az 3 gözlem; güvenilir p değeri için n ≥ 8 önerilir. Sayıları virgül, boşluk veya alt alta yazabilirsiniz.
Yanlış pozitif riskini belirler. Sosyal bilimlerde yaygın seçim %5'tir.

Anderson-Darling Test İstatistiği

zᵢ = (x₍ᵢ₎ − x̄) / s      — sıralı gözlemler standartlaştırılır
A² = −n − (1/n)·Σᵢ (2i − 1)·[ ln Φ(z₍ᵢ₎) + ln(1 − Φ(z₍ₙ₊₁₋ᵢ₎)) ]
A*² = A² · ( 1 + 0,75/n + 2,25/n² )      — küçük örneklem düzeltmesi
Ağırlık fonksiyonu: ψ(x) = 1 / [ F(x)·(1 − F(x)) ]   → kuyruklara ağırlık verir
Kritik A*²:  0,576 (α = 0,15) · 0,656 (0,10) · 0,787 (0,05) · 0,918 (0,025) · 1,092 (0,01)
p ≈ exp(1,2937 − 5,709·A*² + 0,0186·A*²)   (0,6 ≤ A*² < 10 dalı)
H₀: veri normal dağılımlıdır · Karar: A*² > kritik değer ya da p < α ise H₀ reddedilir

Kritik değerler Stephens (1974) asimptotik tablosundan gelir ve n'den bağımsızdır; bu yüzden düzeltilmiş A*² ile karşılaştırılır. Minitab'ın "Normality Test" ve JMP'nin "Goodness of Fit" çıktıları aynı istatistiği raporlar; R'da nortest paketindeki ad.test() karşılığıdır.

Nasıl Hesaplanır?

  1. Normalliğini sınamak istediğiniz değişkenin tüm değerlerini kutuya yapıştırın; güvenilir p için en az 8 gözlem önerilir.
  2. Anlamlılık düzeyini seçin; kalite kontrol uygulamalarında α = 0,05, keşifsel analizde α = 0,10 yaygındır.
  3. A*² değerini kritik değer tablosuyla karşılaştırın: hangi α düzeylerinde aşıldığını tablo doğrudan gösterir.
  4. p değerini okuyun ve α ile karşılaştırın; sınıra yakın durumlarda kritik değer tablosunu esas alın.
  5. Kolmogorov-Smirnov karşılaştırmasını inceleyin: iki test farklı karar veriyorsa sapmanın kuyruklarda mı merkezde mi olduğunu Q-Q grafiğinden doğrulayın.
  6. Histogram ve Q-Q grafiğinde uç noktalara bakın; tek bir aykırı değer A*²'yi tek başına anlamlı yapabilir.

Örnek Hesaplamalar

Kalın kuyruklu ölçüm serisi — AD yakalar, KS kaçırır (n = 17)

Gözlemlerin çoğu 48 ile 53 arasında toplanmışken 42 ve 60 değerleri iki uçta durur. A² = 1,3045 ve A*² = 1,3722 ile p = 0,001 bulunur; A*² %1 kritik değeri olan 1,092'yi de aştığı için normallik kesin biçimde reddedilir. Aynı veride Kolmogorov-Smirnov D = 0,1921 ve Lilliefors p = 0,096 vererek normalliği REDDETMEZ — basıklık 5,298 olan kalın kuyruk yalnızca kuyruk ağırlıklı testte görünür hâle gelir.

A*² (düzeltilmiş): 1,3722 · A² (ham istatistik): 1,3045 · p değeri: p = 0,001

Normale uyan sınav puanları (n = 20)

A² = 0,1334 ve A*² = 0,1392 ile p = 0,975 çıkar; A*² tablodaki en gevşek eşik olan 0,576'yı (α = 0,15) bile aşmaz, dolayısıyla normallik hiçbir düzeyde reddedilmez. Çarpıklık -0,044 ve basıklık -0,453 değerleri de simetrik ve normale yakın bir dağılıma işaret eder.

A*² (düzeltilmiş): 0,1392 · A² (ham istatistik): 0,1334 · p değeri: p = 0,975

Sağa çarpık gelir benzeri veri (n = 15)

A² = 2,3942, A*² = 2,5378 ve p < 0,001 ile normallik %1 düzeyinde bile reddedilir; A*² değeri 1,092 olan en katı kritik değerin iki katından fazladır. Çarpıklık 2,432 ve basıklık 5,652 sağa çarpık, sivri bir dağılımı doğrular. Burada Kolmogorov-Smirnov da aynı karara varır (Lilliefors p < 0,001) çünkü sapma yalnızca kuyrukta değil dağılımın tamamındadır.

A*² (düzeltilmiş): 2,5378 · A² (ham istatistik): 2,3942 · p değeri: p < 0,001

Sıkça Sorulan Sorular

Anderson-Darling ile Kolmogorov-Smirnov arasındaki fark nedir?
KS, ampirik ve kuramsal dağılım arasındaki tek en büyük dikey farka bakar ve bu fark tipik olarak dağılımın merkezinde oluşur; kuyruklarda ne olduğunu neredeyse hiç dikkate almaz. Anderson-Darling ise farkların karesini tüm dağılım boyunca 1/[F(1−F)] ağırlığıyla integre eder, yani uç bölgelere çok daha fazla ağırlık verir. Sonuç olarak kalın kuyruklu veya aykırı değerli verilerde AD normalliği reddederken KS reddetmeyebilir.
A² ile A*² arasındaki fark nedir, hangisini raporlamalıyım?
A² ham istatistiktir; A*² ise küçük örneklem yanlılığını gideren (1 + 0,75/n + 2,25/n²) çarpanıyla düzeltilmiş hâlidir. Kritik değer tablosu A*² için hazırlandığından karar ve raporlama A*² üzerinden yapılmalıdır. n büyüdükçe iki değer birbirine yakınsar: n = 100'de fark binde birin altındadır.
Kritik değerler neden n'e bağlı değil?
Stephens'ın (1974) tablosu asimptotik dağılıma dayanır ve düzeltme n'e bağımlılığı zaten A*² içine gömer. Bu yüzden aynı beş eşik (0,576 / 0,656 / 0,787 / 0,918 / 1,092) her örneklem büyüklüğü için geçerlidir. Bu, Shapiro-Wilk'ten önemli bir farktır: orada kritik W doğrudan n'ye bağlıdır.
Minitab ve R ile aynı sonucu verir mi?
Evet. Minitab'ın Stat → Basic Statistics → Normality Test çıktısındaki AD değeri bu araçtaki A*² ile, R'da nortest::ad.test() çıktısındaki A değeri ise A² ile eşleşir; p değerleri de aynı D'Agostino-Stephens yaklaşımından gelir. SPSS'in Explore menüsünde Anderson-Darling yoktur, orada Shapiro-Wilk ve Lilliefors düzeltmeli KS bulunur.
p değeri çok küçük çıkınca ne kadar güvenebilirim?
p < 0,001 bölgesinde formül ekstrapolasyon yapar; A*² ≥ 10 olduğunda ise p sabit bir alt değere (3,7·10⁻²⁴) kırpılır. Bu değerleri kesin olasılıklar gibi raporlamak yanlış olur; "p < 0,001" biçiminde yazmak doğru yaklaşımdır. Böyle durumlarda kritik değer tablosu ve Q-Q grafiği zaten sapmanın büyüklüğünü açıkça gösterir.
Tek bir aykırı değer sonucu ne kadar değiştirir?
Çok değiştirebilir. Kuyruk ağırlığı, uç bölgedeki tek bir gözlemin A*²'ye katkısını büyütür; küçük örneklemlerde bir aykırı değer testi tek başına anlamlı yapabilir. Bu, testin zayıflığı değil tasarımıdır — ama karar vermeden önce o gözlemin ölçüm hatası mı gerçek bir uç değer mi olduğunu araştırmak gerekir.
Normallik reddedildiğinde hangi yola gitmeliyim?
Önce sapmanın kaynağını belirleyin: çarpıklık varsa log veya karekök dönüşümü çoğu zaman yeterlidir, kalın kuyruk varsa sağlam (robust) yöntemler ya da parametrik olmayan testler uygundur. Aykırı değer kaynaklıysa o gözlemin doğruluğunu kontrol edin. Büyük örneklemlerde ise merkezi limit teoremi nedeniyle ortalama temelli testler zaten dayanıklıdır; reddi otomatik olarak yöntem değiştirme gerekçesi saymayın.