Kolmogorov-Smirnov Testi Hesaplama
Kolmogorov-Smirnov testi, örneklemin birikimli dağılım fonksiyonu Fₙ(x) ile kuramsal normal dağılımın F(x) fonksiyonu arasındaki en büyük dikey uzaklığı ölçer. Bu uzaklık D istatistiğidir: küçükse gözlenen dağılım kuramsal eğriyi izliyor, büyükse belirli bir bölgede sistematik olarak sapıyor demektir.
Testin en sık yapılan hatası, ortalama ve standart sapmayı aynı örneklemden kestirip klasik Kolmogorov tablosunu kullanmaktır. Parametreler veriden tahmin edildiğinde D beklenenden küçülür ve klasik p değeri gerçek hatayı sistematik olarak küçük gösterir; doğru referans Lilliefors dağılımıdır. Bu araç her iki p değerini de hesaplayıp yan yana koyar, hangisinin geçerli olduğunu açıkça söyler ve farkın kaç kat olduğunu sayısal olarak gösterir.
Kolmogorov-Smirnov Test İstatistiği
Fₙ(x) = (x'ten küçük veya eşit gözlem sayısı) / n — ampirik dağılım
F(x) = Φ( (x − μ) / σ ) — kuramsal dağılım
D⁺ = maxᵢ [ i/n − F(x₍ᵢ₎) ]
D⁻ = maxᵢ [ F(x₍ᵢ₎) − (i−1)/n ]
D = max(D⁺, D⁻) = supₓ |Fₙ(x) − F(x)|
λ = ( √n + 0,12 + 0,11/√n ) · D
p_klasik = Q(λ) = 2·Σ_{j≥1} (−1)^{j−1} · e^{−2j²λ²}
Kritik D (klasik, α = 0,05): 1,358 / (√n + 0,12 + 0,11/√n)
Kritik D (Lilliefors, α = 0,05): 0,895 / (√n − 0,01 + 0,85/√n)
H₀: veri belirtilen normal dağılımdan gelmiştirμ ve σ aynı örneklemden kestirildiğinde D'nin dağılımı değişir; klasik Q(λ) yaklaşımı bu durumda p'yi olduğundan büyük gösterir. Doğru referans, Lilliefors (Dallal-Wilkinson) dağılımıdır — SPSS bunu "Lilliefors Significance Correction" dipnotuyla belirtir, R'da nortest paketindeki lillie.test() karşılığıdır.
Nasıl Hesaplanır?
- Sayısal değişkeninizin tüm değerlerini kutuya yapıştırın; en az 4 gözlem gerekir.
- Kuramsal dağılımın parametrelerini seçin: μ ve σ'yı biliyorsanız (kuramsal değer, standart, önceki çalışma) "Ben belirteceğim", bilmiyorsanız "Veriden kestirilsin".
- Anlamlılık düzeyini belirleyin; varsayılan α = 0,05'tir.
- D, D⁺ ve D⁻ değerlerini okuyun: D⁺ büyükse veri kuramsal eğrinin solunda yığılmış, D⁻ büyükse sağında yığılmıştır.
- Karşılaştırma tablosunda klasik ve Lilliefors p değerlerini birlikte inceleyin; parametreler kestirildiyse yalnızca Lilliefors satırını raporlayın.
- Birikimli dağılım grafiğinde iki eğrinin en çok ayrıştığı noktayı ve Q-Q grafiğindeki sapma biçimini kontrol edin.
Örnek Hesaplamalar
Klasik p ile Lilliefors p'nin ayrıştığı sağa çarpık seri (n = 20)
D = 0,2493 (D⁺ = 0,2493; D⁻ = 0,2086) bulunur ve en büyük sapma x = 6,70 noktasındadır. Klasik Kolmogorov p = 0,141 ile normallik reddedilemezken, doğru referans olan Lilliefors p = 0,002 ile normallik açık biçimde reddedilir; klasik yaklaşım p'yi yaklaşık 68,4 kat büyük göstermektedir. Aynı D değeri, hangi referans dağılımın kullanıldığına göre tamamen zıt karara götürür.
D istatistiği: 0,2493 · D⁺ (ampirik üstte): 0,2493 · D⁻ (kuramsal üstte): 0,2086
Normale uyan sınav puanları (n = 20)
D = 0,0903 ile Lilliefors p = 0,939 çıkar; normallik reddedilemez. Lilliefors kritik D değeri (n = 20; α = 0,05) 0,1924 olduğundan gözlenen D bu sınırın epey altındadır. Klasik p = 0,995 de aynı yönde olduğu için burada iki yaklaşım aynı kararı verir — ayrışma yalnızca sınıra yakın D değerlerinde ortaya çıkar.
D istatistiği: 0,0903 · D⁺ (ampirik üstte): 0,0903 · D⁻ (kuramsal üstte): 0,0684
Bilinen N(100; 15) dağılımına uygunluk sınaması
Parametreler kuramdan geldiği için klasik KS geçerlidir: D = 0,3806 ve p = 0,004 ile örneklemin N(100; 15,00) dağılımından geldiği reddedilir. En büyük sapma D⁻ = 0,3806 ile x = 105 noktasında oluşur; bu, gözlemlerin kuramsal eğrinin sağına kaymış olduğunu gösterir. Aynı veri parametreler kestirilerek test edilseydi Lilliefors p = 0,956 ile normallik reddedilemezdi: dağılımın biçimi normaldir, sorun konumundadır.
D istatistiği: 0,3806 · D⁺ (ampirik üstte): 0,0011 · D⁻ (kuramsal üstte): 0,3806