Bayes Teoremi Hesaplama

İstatistikSon güncelleme: 22 Ağustos 2026

Bayes teoremi, elde yeni bir kanıt olduğunda inancın nasıl güncelleneceğini söyleyen kuraldır: P(A|B) = P(B|A)·P(A) / P(B). Buradaki P(A) önsel (kanıttan önceki) olasılık, P(A|B) ise sonsal (kanıttan sonraki) olasılıktır. Payda toplam olasılık kuralıyla açıldığında formül P(B|A)·P(A) + P(B|Aʹ)·P(Aʹ) biçimini alır ve tek başına hesaplanabilir hâle gelir.

Aracın alanları hem genel Bayes problemleri hem de tıbbi tarama testleri için düzenlenmiştir: önsel olasılık prevalansa, P(B|A) testin duyarlılığına, P(B|Aʹ) ise yanlış pozitif oranına (1 − özgüllük) karşılık gelir. Sonuçta sonsal olasılığın yanı sıra negatif kestirim değeri, olabilirlik oranları, önsel ve sonsal oranlar ile 100.000 kişilik varsayımsal kohortta kaç gerçek ve kaç yanlış pozitif çıkacağı tablo hâlinde verilir.

%
Kanıttan önce olayın olasılığı. Tarama testlerinde hastalığın toplumdaki görülme sıklığıdır.
%
Olay gerçekten varken kanıtın ortaya çıkma olasılığı: hasta kişilerde testin pozitif verme oranı.
İkisi birbirinin tümleyenidir: yanlış pozitif oranı = 1 − özgüllük.
%
Olay yokken kanıtın da ortaya çıkmama olasılığı: sağlam kişilerde testin negatif verme oranı.
Sonuçların kişi sayısına çevrileceği kurgusal topluluk. Varsayılan 100.000 kişidir.

Bayes Teoremi

Bayes teoremi:      P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B)
Açık payda:         P(B) = P(B|A)·P(A) + P(B|Aʹ)·P(Aʹ)
Tarama karşılığı:   P(B|A) = duyarlılık,  P(B|Aʹ) = 1 − özgüllük,  P(A) = prevalans
Negatif sonuç:      P(A|Bʹ) = [1 − P(B|A)]·P(A) / [1 − P(B)]
Negatif kestirim:   NPV = P(Aʹ|Bʹ) = özgüllük · P(Aʹ) / [1 − P(B)]
Olabilirlik oranı:  LR⁺ = duyarlılık / (1 − özgüllük),  LR⁻ = (1 − duyarlılık) / özgüllük
Oran biçimi:        sonsal oran = önsel oran × LR⁺,   önsel oran = P(A) / [1 − P(A)]

Payda toplam olasılık kuralıyla açıldığı için formül yalnızca üç girdiyle çalışır: önsel olasılık, duyarlılık ve yanlış pozitif oranı. Pozitif kestirim değeri (P(A|B)) testin sabiti değildir; prevalans değiştikçe değişir.

Nasıl Hesaplanır?

  1. Önsel olasılığı yüzde olarak girin: tarama testlerinde bu, hastalığın toplumdaki görülme sıklığıdır.
  2. Duyarlılığı (olay varken pozitif çıkma oranı) yazın; test kitapçığında 'sensitivity' olarak geçer.
  3. İkinci koşullu olasılığı nasıl gireceğinizi seçin: özgüllük ya da doğrudan yanlış pozitif oranı.
  4. Gerekiyorsa kohort büyüklüğünü değiştirin; varsayılan 100.000 kişi sonuçları sezgisel kılar.
  5. Sonsal olasılığı önselle karşılaştırın ve kaç kat değiştiğine bakın; asıl bilgi bu değişimdedir.
  6. Kohort tablosunda gerçek ve yanlış pozitif sayılarını okuyun: pozitif sonuçların ne kadarının güvenilir olduğunu bu satır gösterir.

Örnek Hesaplamalar

Nadir hastalık taraması

Prevalans %1, duyarlılık %99, özgüllük %95 olan bir tarama testinde P(B) = 0,99 × 0,01 + 0,05 × 0,99 = 0,0594 çıkar ve sonsal olasılık %16,67'de kalır. 100.000 kişilik kohortta 5.940 kişi pozitif sonuç alır; bunların yalnızca 990'ında hastalık gerçekten vardır, 4.950'si yanlış pozitiftir. Negatif çıkanlarda hastalık olasılığı ise %0,01'e iner.

Sonsal olasılık P(A|B): %16,67 · Önsel olasılık P(A): %1,00 · Önselden sonsala değişim: 16,67 kat

Yüksek riskli grupta aynı test

Prevalans %30'a çıktığında P(B) = 0,90 × 0,30 + 0,10 × 0,70 = 0,34 olur ve sonsal olasılık %79,41'e yükselir. 100.000 kişilik kohortta 34.000 pozitif sonucun 27.000'i gerçek, 7.000'i yanlış pozitiftir. Aynı test özellikleriyle bile önsel olasılığın yükselmesi pozitif sonucu çok daha güvenilir hâle getirir.

Sonsal olasılık P(A|B): %79,41 · Önsel olasılık P(A): %30,00 · Önselden sonsala değişim: 2,65 kat

Genel Bayes problemi — spam filtresi

E-postaların %20'si spam; filtre spam olanların %80'ini, spam olmayanların %10'unu işaretliyor. P(B) = 0,80 × 0,20 + 0,10 × 0,80 = 0,24 ve işaretlenen bir e-postanın gerçekten spam olma olasılığı 0,16 / 0,24 = %66,67'dir. 100.000 e-postada 24.000 işaretlemenin 16.000'i doğru, 8.000'i yanlış pozitiftir.

Sonsal olasılık P(A|B): %66,67 · Önsel olasılık P(A): %20,00 · Önselden sonsala değişim: 3,33 kat

Sıkça Sorulan Sorular

Bayes teoremi ne işe yarar?
Elimizdeki bir inancı (önsel olasılık) yeni bir kanıtla güncellemeye yarar ve sonucu sonsal olasılık olarak verir. Tanı testleri, spam filtreleri, adli deliller ve makine öğrenmesindeki naive Bayes sınıflandırıcısı hep bu kurala dayanır. Formülün kalbi, koşullu olasılığın yönünü çevirmesidir: P(B|A) biliniyorsa P(A|B) hesaplanabilir.
Duyarlılığı yüksek bir test neden yanlış pozitif üretir?
Çünkü pozitif kestirim değeri yalnızca teste değil, prevalansa da bağlıdır. Hastalık %1 sıklıkta ise 100.000 kişide 1.000 hasta, 99.000 sağlam vardır; %5'lik bir yanlış pozitif oranı bile 4.950 sağlam kişiyi pozitif yapar ve bu sayı 990 gerçek pozitifi gölgede bırakır. Nadir olaylarda taban oranı testin kendisinden daha belirleyicidir.
Duyarlılık, özgüllük, PPV ve NPV arasındaki fark nedir?
Duyarlılık ve özgüllük testin sabit özellikleridir: hastalarda pozitif, sağlamlarda negatif çıkma oranları. PPV (pozitif kestirim değeri) ve NPV ise sonuçtan hastalığa doğru okunur ve prevalansa göre değişir. Bu araçtaki sonsal olasılık PPV'dir; negatif kestirim değeri de ayrıca gösterilir.
Olabilirlik oranı (LR) nasıl yorumlanır?
LR⁺ = duyarlılık / (1 − özgüllük), pozitif sonucun oranları kaç kat değiştirdiğini söyler: 10'un üzerindeki değerler güçlü, 2'nin altındakiler zayıf kanıt sayılır. LR⁻ = (1 − duyarlılık) / özgüllük ise negatif sonucun dışlama gücünü verir; 0,1'in altı güçlü dışlamadır. Sonsal oran = önsel oran × LR eşitliği sayesinde hesap zihinden bile yapılabilir.
Prevalansı bilmiyorsam ne yapmalıyım?
Prevalans yerine kişiye özgü klinik ön olasılık kullanılır: yaş, belirti ve risk faktörlerine göre tahmin edilen olasılık. Bilinmiyorsa duyarlı bir aralık için hesabı birkaç farklı önselle tekrarlayıp sonucun ne kadar değiştiğine bakmak (duyarlılık analizi) doğru yaklaşımdır. Sonsal olasılığın önsele bağımlılığı çoğu zaman tahmin belirsizliğinden daha büyüktür.
Ardışık iki test yaptırırsam olasılıklar nasıl güncellenir?
İlk testin sonsal olasılığı ikinci test için önsel olasılık olur; bu araca ilk sonucu girip çıkan değeri yeniden önsel olarak yazabilirsiniz. Oran biçiminde ise sonsal oran = önsel oran × LR₁ × LR₂ şeklinde çarpılır. Bu zincirleme yalnızca testler koşullu olarak bağımsızsa geçerlidir; aynı biyolojik mekanizmayı ölçen iki test için fazla iyimser sonuç verir.
Excel veya R ile aynı sonucu nasıl alırım?
Excel'de tek hücrede =(duyarlılık*prevalans)/(duyarlılık*prevalans+(1-özgüllük)*(1-prevalans)) formülü yeterlidir. R'de aynı ifade doğrudan yazılabilir; epiR paketindeki epi.tests() fonksiyonu ise 2×2 tablodan duyarlılık, özgüllük, PPV ve NPV değerlerini güven aralıklarıyla birlikte üretir. Bu araç aynı formülleri kullanır ve ek olarak kohort dökümünü gösterir.