Beklenen Değer Hesaplama

İstatistikSon güncelleme: 22 Ağustos 2026

Beklenen değer, bir kesikli rastgele değişkenin uzun vadede ortalama olarak alacağı değerdir ve E(X) = Σxᵢ·pᵢ ile hesaplanır. Aslında olasılıklarla ağırlıklandırılmış bir ortalamadır: her olası sonuç, gerçekleşme olasılığı kadar ağırlık taşır. Kumar oyunlarının uzun vadeli getirisinden sigorta priminin belirlenmesine, yatırım kararlarından stok planlamasına kadar pek çok karar bu tek sayıya dayanır.

Ancak beklenen değer tek başına yanıltıcıdır: aynı E(X) değerine sahip iki dağılımdan biri neredeyse kesin, diğeri son derece riskli olabilir. Bu yüzden araç E(X) ile birlikte varyansı, standart sapmayı, değişim katsayısını, dağılımın modunu ve medyanını da hesaplar; ara hesap tablosunda her satırın katkısını gösterir ve olasılık dağılımının çubuk grafiğini çizer.

Rastgele değişkenin alabileceği sonuçlar. Ondalık ayırıcı olarak nokta kullanın (12.5); değerleri virgül, boşluk veya satır sonuyla ayırın.
Her değerin olasılığı; sırası yukarıdaki değerlerle birebir aynı olmalıdır. Toplamları 1 (yüzde modunda 100) olmalıdır.
Yüzde seçilirse girilen değerler 100'e bölünerek olasılığa çevrilir.

Beklenen Değer ve Varyans Formülleri

Beklenen değer:      E(X) = Σ xᵢ · pᵢ
İkinci moment:       E(X²) = Σ xᵢ² · pᵢ
Varyans (tanım):     Var(X) = Σ (xᵢ − E(X))² · pᵢ
Varyans (kısayol):   Var(X) = E(X²) − [E(X)]²
Standart sapma:      σ = √Var(X)
Değişim katsayısı:   CV = σ / |E(X)|
Geçerlilik koşulu:   0 ≤ pᵢ ≤ 1  ve  Σ pᵢ = 1
Doğrusal dönüşüm:    E(aX + b) = a·E(X) + b,   Var(aX + b) = a²·Var(X)

Formüller kesikli (sayılabilir sonuçlu) rastgele değişkenler içindir. Sürekli değişkenlerde toplam yerine integral kullanılır: E(X) = ∫x·f(x)dx. Olasılıkların toplamı 1 değilse dağılım geçerli değildir ve araç hesap yapmaz.

Nasıl Hesaplanır?

  1. Rastgele değişkenin alabileceği tüm değerleri (xᵢ) ilk kutuya yazın; kazançlar pozitif, kayıplar negatif girilir.
  2. İkinci kutuya her değerin olasılığını aynı sırayla yazın; sıralamanın birebir eşleşmesi şarttır.
  3. Olasılıkları ondalık (0,35) mi yüzde (35) mi girdiğinizi 'Olasılık biçimi' alanından seçin.
  4. Olasılıkların toplamının 1'e (yüzde modunda 100'e) eşit olduğundan emin olun; aksi halde araç hata verir.
  5. E(X) ile birlikte standart sapmayı okuyun: aynı beklenen değere sahip iki seçenekten küçük σ'lı olan daha az risklidir.
  6. Ara hesap tablosunda her satırın E(X) ve varyansa katkısını inceleyin; uç değerlerin varyansı nasıl şişirdiğini burada görürsünüz.

Örnek Hesaplamalar

Günlük arıza sayısı dağılımı

Bir makinede günlük arıza sayısının dağılımı verildiğinde E(X) = 0×0,35 + 1×0,30 + 2×0,20 + 3×0,10 + 4×0,05 = 1,20 arıza çıkar. E(X²) = 2,80 olduğundan Var(X) = 2,80 − 1,44 = 1,36 ve standart sapma 1,17'dir. En olası tek sonuç 0 arıza (%35) olsa da uzun vadede günde ortalama 1,2 arıza beklenir.

Beklenen değer E(X): 1,20 · Varyans Var(X): 1,36 · Standart sapma σ: 1,17

Piyango bileti — negatif beklenen değer

50 TL'ye alınan bir biletin %2 olasılıkla net 950 TL kazandırdığı durumda E(X) = -50×0,98 + 950×0,02 = -49 + 19 = -30 TL olur. Varyans 19.600, standart sapma ise 140 TL'dir: beklenen kayıp 30 TL olsa da tek bir biletin sonucu bundan çok uzağa düşer. Değişim katsayısının çok büyük olması oyunun ne kadar riskli olduğunu gösterir.

Beklenen değer E(X): -30 · Varyans Var(X): 19.600 · Standart sapma σ: 140

Yüzde biçiminde satış senaryoları

Dört satış senaryosunun olasılıkları yüzde olarak girildiğinde araç bunları 0,40 / 0,35 / 0,20 / 0,05 değerlerine çevirir. Beklenen satış E(X) = 0 + 35 + 50 + 25 = 110 adet, E(X²) = 28.500 ve Var(X) = 28.500 − 12.100 = 16.400 olur; standart sapma 128,06 adettir. Dağılımın medyanı 100, en olası sonuç ise 0 adettir.

Beklenen değer E(X): 110 · Varyans Var(X): 16.400 · Standart sapma σ: 128,06

Sıkça Sorulan Sorular

Beklenen değer nasıl hesaplanır?
Her olası sonuç kendi olasılığıyla çarpılır ve bu çarpımlar toplanır: E(X) = Σxᵢ·pᵢ. Olasılıkların toplamı mutlaka 1 olmalıdır, aksi halde sonuç anlamsızdır. Excel'de aynı hesap =TOPLA.ÇARPIM(değerler; olasılıklar) formülüyle tek adımda yapılır.
Beklenen değer olası sonuçlardan biri olmak zorunda mı?
Hayır. Bir zarın beklenen değeri 3,5'tir ama zarda 3,5 diye bir yüz yoktur. Beklenen değer tek bir denemenin tahmini değil, çok sayıda tekrarda ortalamanın yaklaşacağı sayıdır. Bu yüzden 'en olası sonuç' (mod) ile karıştırılmamalıdır.
Beklenen değer ile ağırlıklı ortalama arasındaki fark nedir?
Matematiksel olarak ikisi aynı işlemdir; fark yorumdadır. Ağırlıklı ortalamada ağırlıklar önem katsayısıdır ve toplamları herhangi bir sayı olabilir (sonra normalleştirilir). Beklenen değerde ağırlıklar olasılıktır ve toplamları zorunlu olarak 1'dir; sonuç da bir tahmin değil, uzun vadeli ortalamadır.
Olasılıkların toplamı 1 değilse ne olur?
Dağılım geçerli değildir ve araç hesap yapmadan hata verir. En sık nedeni bir sonucu listeye eklemeyi unutmaktır; örneğin 'hiçbir şey olmama' durumunu yazmamak. Yuvarlamadan doğan 0,001 düzeyindeki küçük sapmalara izin verilir, daha büyük farklarda toplamın gerçek değeri hata mesajında gösterilir.
Varyans ve standart sapma neden birlikte raporlanmalı?
Beklenen değer riskin büyüklüğü hakkında hiçbir şey söylemez: 0 ile 100 arasında eşit olasılıkla dağılan bir değişkenle her zaman 50 veren bir değişkenin E(X) değeri aynıdır. Varyans sonuçların E(X) çevresindeki yayılımını, standart sapma ise bunu aynı birimde ölçer. Karar verirken ikisi birlikte okunmalıdır.
Negatif beklenen değer ne anlama gelir?
Uzun vadede ortalama kayıp beklendiğini gösterir; piyango, kumar ve çoğu sigorta ürünü oynayan taraf için negatif beklenen değere sahiptir. Bu, oyunun her seferinde kaybettireceği anlamına gelmez, yalnızca tekrar sayısı arttıkça ortalamanın negatife yakınsayacağını söyler. Sigortada negatif beklenen değere razı olunmasının nedeni büyük kayıp riskinden korunmaktır.
Sürekli dağılımlarda beklenen değer nasıl bulunur?
Toplam yerine integral kullanılır: E(X) = ∫x·f(x)dx. Bu araç kesikli dağılımlar içindir; normal, üstel veya düzgün gibi sürekli dağılımların beklenen değeri kapalı formüllerle verilir (örneğin normal dağılımda doğrudan μ). Sürekli bir değişkeni sınıflara ayırıp sınıf orta noktalarıyla yaklaşık hesap yapmak da mümkündür.