Toplam Olasılık Hesaplama

İstatistikSon güncelleme: 22 Ağustos 2026

Toplam olasılık kuralı, bir olayın olasılığını doğrudan bulamadığımızda kullanılan yoldur: örneklem uzayı birbirini dışlayan ve tümünü kaplayan A₁, A₂, …, Aₙ dallarına ayrılır ve P(B) = ΣP(B|Aᵢ)·P(Aᵢ) toplamıyla hesaplanır. Bir fabrikanın toplam hata oranı, farklı hatlardaki hata oranlarının üretim payıyla ağırlıklandırılmış toplamıdır; bir çağrı merkezinin ortalama çözüm oranı, vardiyaların çözüm oranlarının vardiya payıyla toplamıdır.

Bu araç her satıra bir dal yazarak çalışır: dalın önsel olasılığı P(Aᵢ) ve o dal içindeki koşullu olasılık P(B|Aᵢ). Sonuçta yalnızca P(B) değil, her dalın toplama kaç puan kattığı, katkı payları ve Bayes teoremiyle hesaplanan sonsal olasılıklar P(Aᵢ|B) de verilir. Böylece 'B gerçekleştiyse hangi daldan gelmiş olma ihtimali en yüksek' sorusu da aynı ekranda yanıtlanır.

Her satırda iki sayı bulunmalıdır: önce dalın olasılığı P(Aᵢ), sonra o dal içindeki koşullu olasılık P(B|Aᵢ). Satır başına 'Etiket:' yazarak dalları adlandırabilirsiniz.
Yüzde seçilirse satırdaki iki sayı da 100'e bölünerek olasılığa çevrilir.
Sonuç etiketlerinde kullanılır. Boş bırakılırsa B yazılır.

Toplam Olasılık Kuralı

Toplam olasılık:   P(B) = Σᵢ P(B|Aᵢ) · P(Aᵢ)
Bölünme koşulu:    Aᵢ ∩ Aⱼ = ∅ (i ≠ j)  ve  Σᵢ P(Aᵢ) = 1
İki dallı hâli:    P(B) = P(B|A)·P(A) + P(B|Aʹ)·P(Aʹ)
Dal katkısı:       P(Aᵢ ∩ B) = P(Aᵢ) · P(B|Aᵢ)
Sonsal (Bayes):    P(Aᵢ|B) = P(B|Aᵢ)·P(Aᵢ) / P(B)
Kontrol:           Σᵢ P(Aᵢ|B) = 1
Sınır özelliği:    min P(B|Aᵢ) ≤ P(B) ≤ max P(B|Aᵢ)

Kural, olasılık ağacının dallarındaki çarpımların toplanmasıdır. Payda olarak P(B) hesaplandıktan sonra aynı sayılarla Bayes teoremi doğrudan uygulanabilir; bu yüzden araç sonsal olasılıkları da birlikte verir.

Nasıl Hesaplanır?

  1. Örneklem uzayını birbirini dışlayan dallara ayırın: üretim hatları, vardiyalar, müşteri segmentleri, hava durumu senaryoları gibi.
  2. Her satıra bir dal yazın: önce dalın olasılığı P(Aᵢ), sonra noktalı virgül ve o dal içindeki koşullu olasılık P(B|Aᵢ).
  3. İsterseniz satır başına 'Fabrika A:' gibi bir etiket ekleyin; tablo ve grafiklerde bu ad kullanılır.
  4. Olasılıkları ondalık mı yüzde mi girdiğinizi seçin ve dal olasılıklarının toplamının 1 (ya da 100) olduğundan emin olun.
  5. P(B) sonucunu koşullu olasılık aralığıyla karşılaştırın; sonuç daima en küçük ve en büyük koşullunun arasında kalmalıdır.
  6. Tablodaki sonsal P(Aᵢ|B) sütununu okuyun: olay gerçekleştiğinde hangi dalın sorumlu olma ihtimalinin arttığını burada görürsünüz.

Örnek Hesaplamalar

Üç fabrikadan gelen kusurlu ürün

Üretimin yarısı A, %30'u B, %20'si C fabrikasından geliyor ve kusur oranları sırasıyla %2, %3 ve %5. Toplam kusur olasılığı P(B) = 0,50×0,02 + 0,30×0,03 + 0,20×0,05 = 0,010 + 0,009 + 0,010 = 0,029, yani %2,90'dır. Rastgele seçilen kusurlu bir ürünün A'dan gelme olasılığı %34,48, B'den %31,03, C'den ise %34,48'dir: en küçük paya sahip C fabrikası, yüksek kusur oranı sayesinde A ile aynı sorumluluğu taşır.

P(Kusurlu) — toplam olasılık: %2,90 · P(Kusurlu değil): %97,10 · Dal sayısı: 3

Vardiyalara göre hata oranı (yüzde girişi)

İşlemlerin %45'i sabah, %35'i öğle, %20'si gece vardiyasında yapılıyor; hata oranları sırasıyla %1,5, %2,5 ve %4. Toplam hata olasılığı %2,35'tir. Hatalı bir işlemin gece vardiyasından gelme olasılığı %34,04'e çıkar; oysa gece vardiyasının işlem payı yalnızca %20'dir.

P(Hatalı işlem) — toplam olasılık: %2,35 · P(Hatalı işlem değil): %97,65 · Dal sayısı: 3

İki dallı hava durumu senaryosu

Günlerin %30'u yağmurlu; yağmurlu günlerde gecikme olasılığı %60, kuru günlerde %10. Toplam gecikme olasılığı 0,30×0,60 + 0,70×0,10 = 0,18 + 0,07 = 0,25, yani %25'tir. Bir gecikme yaşandığında o günün yağmurlu olma olasılığı %72'ye çıkar; önsel %30'luk olasılık iki katından fazla artmıştır.

P(Gecikme) — toplam olasılık: %25,00 · P(Gecikme değil): %75,00 · Dal sayısı: 2

Sıkça Sorulan Sorular

Toplam olasılık kuralı ne zaman kullanılır?
Bir olayın olasılığını doğrudan bilmediğimiz ama farklı koşullar altındaki olasılıklarını bildiğimiz durumlarda kullanılır. Örneğin toplam hata oranı bilinmiyor olabilir ama her hattın hata oranı ve üretim payı biliniyorsa kural doğrudan uygulanır. Aynı zamanda Bayes teoreminin paydasını hesaplamanın standart yoludur.
Dalların hangi koşulları sağlaması gerekir?
İki koşul vardır: dallar birbirini dışlamalı (bir gözlem yalnızca bir dala ait olabilir) ve birlikte örneklem uzayının tamamını kaplamalıdır, yani P(Aᵢ) toplamı 1 olmalıdır. Araç ikinci koşulu denetler ve toplam 1'den saparsa hata verir; birinci koşulun sağlanması problemi doğru kurgulamanıza bağlıdır.
P(B) neden koşullu olasılıkların basit ortalaması değil?
Çünkü dalların payları farklıdır: %2 hata oranlı ama üretimin yarısını yapan bir hat, %5 hata oranlı ama %20 pay alan bir hattan daha fazla kusurlu ürün üretebilir. Toplam olasılık, koşullu olasılıkların paylarla ağırlıklandırılmış ortalamasıdır. Yalnızca tüm paylar eşit olduğunda basit ortalamaya eşitlenir.
Sonsal olasılık P(Aᵢ|B) neyi söyler?
Olay gerçekleştikten sonra hangi daldan gelmiş olma ihtimalinin ne olduğunu söyler; yönü tersine çevirir. Kusurlu bir ürün elinizdeyken 'bu hangi fabrikadan geldi' sorusunun yanıtıdır ve Bayes teoremiyle bulunur. Sonsal olasılıkların toplamı da 1'dir; araç bunu kontrol satırı olarak gösterir.
Küçük paylı bir dal nasıl büyük sorumluluk taşıyabilir?
Koşullu olasılığı yeterince yüksekse. Örneğin üretimin yalnızca %20'sini yapan ama kusur oranı %5 olan bir fabrika, %50 pay alıp %2 kusur veren fabrikayla aynı sayıda kusurlu ürün üretir. Katkı payı sütunu tam olarak bu karşılaştırmayı yapmanızı sağlar ve iyileştirme çalışmalarının nereye yöneleceğini belirler.
Excel veya R'de aynı hesabı nasıl yaparım?
Excel'de bir sütuna P(Aᵢ), diğerine P(B|Aᵢ) yazıp =TOPLA.ÇARPIM(A2:A4; B2:B4) formülü toplam olasılığı verir; sonsal olasılıklar için her satırın çarpımını bu toplama bölersiniz. R'de sum(pA * pBA) ve (pA * pBA) / sum(pA * pBA) ifadeleri yeterlidir. Bu araç aynı hesabı yapar ve ayrıca katkı paylarını grafikle gösterir.
İkiden fazla dal olduğunda Bayes teoremi değişir mi?
Formülün yapısı değişmez, yalnızca payda genişler: P(Aᵢ|B) = P(B|Aᵢ)·P(Aᵢ) / ΣⱼP(B|Aⱼ)·P(Aⱼ). Payda zaten toplam olasılık kuralının kendisidir. Bu yüzden çok dallı problemlerde önce P(B) hesaplanır, sonra her dalın ortak olasılığı bu değere bölünür.