Koşullu Olasılık Hesaplama

İstatistikSon güncelleme: 22 Ağustos 2026

Koşullu olasılık, bir olayın başka bir olayın gerçekleştiği bilindiğinde taşıdığı olasılıktır ve P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) ile hesaplanır. Yeni bilgi örneklem uzayını daraltır: artık tüm durumlar değil, yalnızca B'nin gerçekleştiği durumlar sayılır. Tıpta test sonucuna göre hastalık olasılığı, pazarlamada kampanyayı görenlerin satın alma oranı, kalite kontrolde belirli bir hattan gelen ürünün kusurlu çıkma şansı hep bu şekilde bulunur.

Bu araç değerleri iki farklı yoldan alır: doğrudan P(A), P(B) ve P(A ∩ B) girebilir ya da 2×2 çapraz tablodaki gözlem sayılarını yazabilirsiniz. Sonuçta yalnızca P(A|B) değil; ters koşullu olasılık P(B|A), birleşim P(A ∪ B), tümleyen koşulundaki P(A|Bʹ), kaldıraç oranı ve en önemlisi bağımsızlık kontrolü (P(A ∩ B) ile P(A)·P(B) karşılaştırması) birlikte verilir.

Elinizde oran varsa birincisini, ham sayım varsa ikincisini seçin.
Sonuçlarda etiket olarak kullanılır. Boş bırakılırsa A yazılır.
P(A|B) hesabında koşul olarak alınan olaydır.
0 ile 1 arasında yazın: %40 için 0,4.
Koşul olayının olasılığı; sıfır olamaz.
A ile B'nin birlikte gerçekleşme olasılığı. P(A) ve P(B)'nin ikisinden de büyük olamaz.

Koşullu Olasılık Formülleri

Koşullu olasılık:   P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B),   P(B) > 0
Çarpma kuralı:      P(A ∩ B) = P(A|B) · P(B) = P(B|A) · P(A)
Bağımsızlık:        P(A ∩ B) = P(A) · P(B)  ⇔  P(A|B) = P(A)
Birleşim:           P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Tümleyen koşulu:    P(A|Bʹ) = [P(A) − P(A ∩ B)] / [1 − P(B)]
Çapraz tablodan:    P(A|B) = n(A ∩ B) / n(B)
Kaldıraç (lift):    L = P(A|B) / P(A)
Bayes bağlantısı:   P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B)

Koşullu olasılıkta payda örneklem uzayının tamamı değil, yalnızca koşul olayıdır. Bu yüzden P(A|B) ile P(B|A) genellikle birbirinden farklıdır ve yer değiştirmeleri 'taban oranı yanılgısı' olarak bilinen hataya yol açar.

Nasıl Hesaplanır?

  1. Giriş biçimini seçin: elinizde oranlar varsa 'Olasılıklar', ham sayım varsa 'Çapraz tablo'.
  2. İsterseniz olayların adlarını yazın (örneğin 'Satın aldı' ve 'Kampanyayı gördü'); sonuçlar bu adlarla etiketlenir.
  3. Olasılık modunda P(A), P(B) ve kesişim P(A ∩ B) değerlerini 0 ile 1 arasında girin; çapraz tablo modunda dört hücrenin gözlem sayısını yazın.
  4. P(A|B) sonucunu P(A) ile karşılaştırın: aradaki fark, B bilgisinin ne kadar işe yaradığını gösterir.
  5. Bağımsızlık satırını okuyun; P(A ∩ B) ile P(A)·P(B) birbirine eşitse olaylar bağımsızdır.
  6. Özet tabloda dört ayrık bölgeyi ve kenar toplamlarını kontrol ederek girdilerinizin tutarlı olduğunu doğrulayın.

Örnek Hesaplamalar

Kampanya ve satın alma (olasılık girişi)

Müşterilerin %40'ı satın alıyor, %25'i kampanyayı görüyor ve %15'i her ikisini birden yapıyor. Kampanyayı görenler arasında satın alma olasılığı 0,15 / 0,25 = %60'a çıkıyor; kampanyayı görmeyenlerde ise %33,33'te kalıyor. Bağımsızlık beklentisi P(A)·P(B) = %10 iken gerçek kesişim %15 olduğu için olaylar pozitif yönde bağımlıdır ve kaldıraç 1,500'dür.

P(Satın aldı | Kampanyayı gördü): %60,00 · P(Kampanyayı gördü | Satın aldı): %37,50 · P(Satın aldı | Kampanyayı gördü değil): %33,33

Çapraz tablodan koşullu olasılık

Toplam 300 kişilik tabloda öksürük şikâyeti olan 75 kişinin 45'i sigara içiyor: P(A|B) = 45/75 = %60. Sigara içen 100 kişinin 45'inde şikâyet var, yani P(B|A) = %45. Sigara içme oranı genelde %33,33 olduğundan şikâyeti olanlarda bu oranın %60'a çıkması iki olayın bağımlı olduğunu gösterir; kaldıraç 1,800'dür.

P(Sigara içiyor | Öksürük şikâyeti): %60,00 · P(Öksürük şikâyeti | Sigara içiyor): %45,00 · P(Sigara içiyor | Öksürük şikâyeti değil): %24,44

Bağımsız iki olay

P(A) = 0,5 ve P(B) = 0,2 iken kesişim tam olarak 0,5 × 0,2 = 0,1'dir. Bu durumda P(A|B) = 0,1 / 0,2 = %50 çıkar ve P(A) ile birebir aynıdır: B bilgisi hiçbir şey değiştirmez, olaylar bağımsızdır. Kaldıraç 1,000, birleşim olasılığı ise %60'tır.

P(A | B): %50,00 · P(B | A): %20,00 · P(A | B değil): %50,00

Sıkça Sorulan Sorular

P(A|B) ile P(B|A) neden farklıdır?
İkisinin payı aynıdır (kesişim), paydaları farklıdır: biri P(B)'ye, diğeri P(A)'ya bölünür. Bu yüzden nadir bir olay koşul alındığında sonuç dramatik biçimde değişir. İkisini birbirinin yerine kullanmak 'savcı yanılgısı' veya 'taban oranı yanılgısı' adıyla bilinen klasik hatadır; doğru geçiş Bayes teoremiyle yapılır.
İki olayın bağımsız olduğunu nasıl anlarım?
Bağımsızlık ölçütü P(A ∩ B) = P(A)·P(B) eşitliğidir; buna denk olarak P(A|B) = P(A) ve P(B|A) = P(B) olmalıdır. Araç bu karşılaştırmayı otomatik yapar ve farkı gösterir. Örneklem verisiyle çalışıyorsanız küçük sapmalar rastlantısal olabilir; bağımsızlığı istatistiksel olarak sınamak için ki-kare bağımsızlık testi gerekir.
Ayrık (bağdaşmaz) olaylar bağımsız mıdır?
Hayır, tam tersi. Ayrık olaylarda P(A ∩ B) = 0'dır; biri gerçekleştiğinde diğerinin olasılığı sıfıra düşer, yani aralarında en güçlü bağımlılık vardır. Bağımsızlık ile ayrıklık birbirinin yerine kullanılan ama taban tabana zıt iki kavramdır; sıfır olmayan olasılıklı iki olay hem ayrık hem bağımsız olamaz.
Çapraz tablodan koşullu olasılık nasıl okunur?
Koşul hangi olaysa onun satır ya da sütun toplamı payda olur. P(A|B) için B sütununun toplamına bölersiniz: örneğin B sütunundaki 75 kişinin 45'inde A varsa P(A|B) = 45/75 = 0,60. Excel'de bunu ETOPLA/ÇOKETOPLA ile, SPSS'te Crosstabs menüsündeki satır veya sütun yüzdeleriyle elde edersiniz.
Kaldıraç (lift) değeri ne anlama gelir?
Kaldıraç, koşullu olasılığın koşulsuz olasılığa oranıdır: L = P(A|B) / P(A). L = 1 bağımsızlığı, L > 1 pozitif ilişkiyi, L < 1 negatif ilişkiyi gösterir. Sepet analizi ve öneri sistemlerinde iki ürünün birlikte alınma eğilimini ölçmek için tam olarak bu ölçü kullanılır.
P(B) = 0 olursa ne olur?
Koşullu olasılık tanımsız kalır; hiç gerçekleşmeyen bir olay koşul olarak alınamaz çünkü payda sıfır olur. Araç bu durumda hesap yapmak yerine açık bir hata mesajı verir. Uygulamada P(B) sıfıra çok yakınsa da sonuçlar çok oynak olur; koşul grubundaki gözlem sayısını artırmak gerekir.
Girdilerim tutarsızsa araç uyarır mı?
Evet. Kesişim olasılığı P(A) ve P(B)'nin ikisinden birden büyük olamaz; ayrıca P(A) + P(B) − P(A ∩ B) toplamı 1'i aşamaz. Bu iki kural çiğnendiğinde araç hesap yapmaz ve hangi sınırın aşıldığını sayıyla birlikte söyler.