Çekiliş Olasılığı Hesaplama

İstatistikSon güncelleme: 22 Ağustos 2026

Bir torbadan, desteden ya da üretim partisinden nesneler geri konulmadan çekildiğinde her çekiliş bir sonrakinin olasılığını değiştirir. Bu durumda binom dağılımı geçerli olmaz; doğru model hipergeometrik dağılımdır: N nesnenin K tanesi uygunken n nesne çekildiğinde tam k uygun çıkma olasılığı P(X = k) = C(K,k)·C(N−K,n−k) / C(N,n) ile bulunur.

Araç tam k olasılığının yanında en az k, en çok k, hiç çıkmama ve en az bir çıkma olasılıklarını; beklenen değeri, varyansı ve standart sapmayı; desteğin tamamı için olasılık tablosunu ve dağılım çubuk grafiğini birlikte verir. Ayrıca aynı hesabın iadeli (geri koymalı) çekilişteki binom karşılığını göstererek sonlu kitle düzeltmesinin ne kadar fark yarattığını ortaya koyar.

Torbadaki toplam top, destedeki toplam kart ya da partideki toplam ürün sayısı.
Bunlardan kaç tanesi aradığınız türde? Örneğin 52 kartlık destede 4 as.
Geri koymadan (iadesiz) çekilen nesne adedi.
Çekilenlerin kaç tanesinin uygun olmasını istiyorsunuz? Tam k, en az k ve en çok k birlikte hesaplanır.

Hipergeometrik Dağılım Formülleri

Tam k uygun:      P(X = k) = [C(K, k) · C(N−K, n−k)] / C(N, n)
Destek:           max(0, n+K−N) ≤ k ≤ min(n, K)
En çok k:         P(X ≤ k) = Σᵢ₌₀ᵏ P(X = i)
En az k:          P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1)
En az bir:        P(X ≥ 1) = 1 − C(N−K, n) / C(N, n)
Beklenen değer:   E(X) = n · K / N
Varyans:          Var(X) = n · (K/N) · (1 − K/N) · (N−n)/(N−1)
Binom karşılığı:  P(X = k) ≈ C(n, k) · pᵏ · (1−p)ⁿ⁻ᵏ,  p = K/N  (iadeli çekiliş)

Formül, tüm C(N, n) çekiliş biçimi arasında tam k uygun içerenlerin oranıdır. Büyük N değerlerinde kombinasyonlar doğrudan hesaplanamayacak kadar büyüdüğünden araç logaritmik yolu kullanır; sonuç aynı, taşma riski yoktur.

Nasıl Hesaplanır?

  1. Toplam nesne sayısını (N) girin: destedeki kart, torbadaki top ya da partideki ürün adedi.
  2. Bunlardan kaç tanesinin aradığınız türde olduğunu (K) yazın; örneğin 52 kartlık destede 4 as.
  3. Kaç nesne çekeceğinizi (n) belirtin; nesneler geri konulmadan çekilir.
  4. Çekilenlerin kaç tanesinin uygun olmasını istediğinizi (k) girin.
  5. Tam k, en az k ve en çok k olasılıklarını birlikte okuyun; 'en az bir' sorusu için P(X ≥ 1) satırına bakın.
  6. Dağılım grafiğinde tepe noktasının nerede olduğuna ve sonucunuzun beklenen değerden ne kadar uzakta kaldığına bakın.

Örnek Hesaplamalar

İskambil destesinden tam bir as

52 kartlık desteden 5 kart çekildiğinde tam 1 as gelme olasılığı [C(4,1)·C(48,4)] / C(52,5) = (4 × 194.580) / 2.598.960 = %29,95'tir. Hiç as gelmeme olasılığı %65,88 olduğundan en az bir as görme olasılığı %34,12 olur. Beklenen as sayısı 5 × 4/52 = 0,3846'dır.

Tam 1 uygun — P(X = 1): %29,95 · En az 1 uygun — P(X ≥ 1): %34,12 · En çok 1 uygun — P(X ≤ 1): %95,83

6/49 lotoda üç tutturma

49 sayıdan 6'sının çekildiği bir oyunda kuponunuzdaki 6 sayının tam 3'ünün tutma olasılığı [C(6,3)·C(43,3)] / C(49,6) = (20 × 12.341) / 13.983.816 = 0,017650, yani %1,77 olarak bulunur. En az 3 tutturma olasılığı %1,86 düzeyindedir; altı sayıyı birden tutturma olasılığı ise 13.983.816'da 1'dir. Beklenen tutan sayı 6 × 6/49 = 0,7347 ve hiç tutturamama olasılığı %43,60 çıkar.

Tam 3 uygun — P(X = 3): %1,77 · En az 3 uygun — P(X ≥ 3): %1,86 · En çok 3 uygun — P(X ≤ 3): %99,90

Kalite kontrolde kusursuz parti

100 ürünlük bir partide 8 kusurlu varken 10 ürünlük iadesiz örneklemde hiç kusurlu çıkmama olasılığı C(92,10)/C(100,10) = 7.210.666.060.598 / 17.310.309.456.440 = %41,66 olarak bulunur. Yani örneklemin en az bir kusurlu yakalama olasılığı %58,34 kadardır: bu kabul örneklemesi, kusurlu partilerin yaklaşık beşte ikisini gözden kaçırır. Beklenen kusurlu sayısı 10 × 8/100 = 0,8000 ve standart sapma 0,8180 çıkar.

Tam 0 uygun — P(X = 0): %41,66 · En az 0 uygun — P(X ≥ 0): %100,00 · En çok 0 uygun — P(X ≤ 0): %41,66

Sıkça Sorulan Sorular

Hipergeometrik dağılım ile binom dağılımı arasındaki fark nedir?
Binom dağılımı iadeli çekiliş içindir: her denemede başarı olasılığı sabit kalır ve denemeler bağımsızdır. Hipergeometrik dağılım ise iadesiz çekiliş içindir; çekilen nesne geri konmadığı için kalan kitlenin bileşimi ve dolayısıyla olasılık her adımda değişir. Örneklem kitlenin küçük bir parçasıysa (n/N < %5) iki dağılım birbirine çok yaklaşır.
'En az bir uygun' olasılığı nasıl hesaplanır?
En pratik yol tamamlayıcıdan gitmektir: P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) ve P(X = 0) = C(N−K, n) / C(N, n). Tek tek P(1) + P(2) + … toplamak da aynı sonucu verir ama gereksiz uzundur. Araç her iki değeri de ayrı satırlarda gösterir.
Neden bazı k değerlerinin olasılığı sıfır çıkıyor?
Çünkü hipergeometrik dağılımın desteği sınırlıdır: uygun sayısı en az max(0, n+K−N), en fazla min(n, K) olabilir. Örneğin destede 4 as varken 5 kartta 5 as çıkamaz; ya da 10 nesnenin 8'i uygunken 5 çekilişte en az 3 uygun gelmek zorundadır. Bu aralığın dışındaki değerler için olasılık kesin olarak sıfırdır ve araç uyarı verir.
Sonlu kitle düzeltmesi nedir?
Varyans formülündeki (N−n)/(N−1) çarpanıdır. İadesiz çekilişte örneklem kitlenin büyük bir bölümünü kapsadıkça belirsizlik azalır; uçta n = N olduğunda her şey çekilmiş olur ve varyans sıfıra iner. Anket ve denetim örneklemelerinde standart hatayı küçültmek için aynı çarpan kullanılır.
Loto olasılıklarını bu araçla hesaplayabilir miyim?
Evet. N toplam sayı adedi, K kupondaki (ya da çekilen) sayı adedi, n çekilen (ya da kupondaki) sayı adedi, k ise tutturmak istediğiniz adettir. 6/49 için N = 49, K = 6, n = 6 girilir. Tüm sayıları tutturma olasılığı 1/C(49,6) = 13.983.816'da 1 çıkar.
Excel, SPSS veya R ile aynı sonucu alır mıyım?
Evet. Excel'de =HİPERGEOMDAĞ(k; n; K; N) — İngilizce sürümde HYPGEOM.DIST(k; n; K; N; YANLIŞ) — aynı değeri verir; birikimli olasılık için son argüman DOĞRU yapılır. R'de dhyper(k, K, N-K, n) ve phyper(k, K, N-K, n) kullanılır. Argüman sıraları farklı olduğu için karıştırmamaya dikkat edin.
Çok büyük N değerlerinde hesap doğru kalıyor mu?
Evet. Kombinasyonlar doğrudan çarpılırsa sayılar hızla taşar; bu yüzden araç büyük parametrelerde logaritmik gama fonksiyonuyla çalışır ve sonucu üstel alarak döndürür. Adım adım çözümde sayı olarak gösterilemeyecek kadar büyük kombinasyonlar sembolik biçimde C(N, n) olarak bırakılır, ancak olasılık yine tam hesaplanır.