Bernoulli Dağılımı Hesaplama

İstatistikSon güncelleme: 22 Ağustos 2026

Bernoulli dağılımı, yalnızca iki sonucu olan tek bir denemenin dağılımıdır: başarı (X = 1) ve başarısızlık (X = 0). Tüm dağılım tek bir parametreyle, başarı olasılığı p ile tanımlanır. Bir yazı-tura atışı, bir reklamın tıklanıp tıklanmaması, bir hastanın tedaviye yanıt verip vermemesi, bir üretim parçasının kusurlu çıkıp çıkmaması — hepsi birer Bernoulli denemesidir. Basitliğine rağmen olasılık kuramının en temel yapı taşıdır: binom, geometrik ve negatif binom dağılımlarının tamamı Bernoulli denemelerinin üst üste konmasıyla türer.

Bu araç p değerinden Bernoulli dağılımının tüm özet ölçülerini (ortalama, varyans, standart sapma, çarpıklık, fazlalık basıklık, mod, medyan, bahis oranı ve entropi) hesaplar; ardından aynı denemeden n bağımsız kez yapıldığında ortaya çıkan Binom(n; p) dağılımını gösterir: toplam başarı sayısının ortalaması n·p, varyansı n·p(1−p) olur ve belirli bir başarı sayısının olasılığı doğrudan hesaplanır. Sonuçlar iki çubuk grafikle desteklenir.

0 ile 1 arasında bir değer. Örn. hilesiz para için 0,5; %30'luk dönüşüm oranı için 0,3.
Aynı denemenin kaç kez tekrarlandığı. Toplam başarı sayısı Binom(n; p) dağılır.
n deneme içinde tam olarak kaç başarı görülme olasılığı hesaplansın?

Bernoulli Dağılımı Formülleri

Kütle fonksiyonu:  P(X = x) = pˣ·(1 − p)^(1−x),  x ∈ {0, 1}
Açık biçim:        P(X = 1) = p ,  P(X = 0) = 1 − p
Ortalama:          E(X) = p
Varyans:           Var(X) = p·(1 − p)
Standart sapma:    σ = √[p(1 − p)]
Çarpıklık:         γ₁ = (1 − 2p) / √[p(1 − p)]
Basıklık (fazla):  γ₂ = [1 − 6p(1 − p)] / [p(1 − p)]
Bahis oranı:       odds = p / (1 − p)
Entropi:           H = −p·log₂p − (1 − p)·log₂(1 − p)   (bit)
n denemenin toplamı: X₁ + … + Xₙ ~ Binom(n; p)
Binom kütlesi:     P(X = k) = C(n, k)·p^k·(1 − p)^(n−k)
Binom momentleri:  E = n·p ,  Var = n·p(1 − p)

Bernoulli dağılımı tek parametrelidir: p bilindiğinde dağılımın tamamı bilinir. Ortalama ile varyans arasındaki Var = μ(1 − μ) bağıntısı, lojistik regresyonun ve genelleştirilmiş doğrusal modellerin binom varyans fonksiyonunun temelidir.

Nasıl Hesaplanır?

  1. Tek denemedeki başarı olasılığını (p) girin; 0 ile 1 arasında olmalıdır (yüzdeyi 100'e bölerek yazın).
  2. Aynı denemenin kaç kez bağımsız olarak tekrarlandığını (n) belirtin.
  3. n deneme içinde olasılığını merak ettiğiniz başarı sayısını (k) yazın.
  4. Bernoulli bölümünde ortalama, varyans, çarpıklık, basıklık ve entropiyi inceleyin; bunlar yalnızca p'ye bağlıdır.
  5. Binom bölümünde n·p ve n·p(1−p) değerlerinin Bernoulli ölçülerinin n katı olduğunu doğrulayın.
  6. İki çubuk grafiği karşılaştırın: iki çubuklu Bernoulli kütlesi tekrarlandıkça çan biçimli binom kütlesine dönüşür.

Örnek Hesaplamalar

%30 dönüşüm oranı, 10 ziyaretçi

Bir sayfanın dönüşüm oranı 0,3 ise tek ziyaretçi için ortalama 0,3, varyans 0,21 ve standart sapma 0,4583'tür; çarpıklık 0,8729 ile dağılım sağa çarpıktır. 10 bağımsız ziyaretçide beklenen dönüşüm 3, varyans 2,1'dir. Tam olarak 3 dönüşüm görme olasılığı 0,266828 (%26,68), en az bir dönüşüm görme olasılığı ise 0,971752'dir.

P(X = 1) — başarı: 0,3000 · P(X = 0) — başarısızlık: 0,7000 · Ortalama (beklenen değer): 0,3000

Hilesiz para: p = 0,5 ve 20 atış

p = 0,5'te Bernoulli dağılımı simetriktir: çarpıklık 0, varyans en büyük değeri olan 0,25 ve entropi tam 1 bittir. 20 atışta beklenen tura sayısı 10, varyans 5 ve standart sapma 2,2361'dir. Tam 10 tura gelme olasılığı 0,176197'dir — en olası sonuç olmasına rağmen %20'nin altındadır.

P(X = 1) — başarı: 0,5000 · P(X = 0) — başarısızlık: 0,5000 · Ortalama (beklenen değer): 0,5000

Nadir olay: p = 0,05 ve 50 deneme

Kusur oranı 0,05 olan bir üretim hattında tek parça için varyans yalnızca 0,0475, çarpıklık ise 4,1295'tir (belirgin sağa çarpık). 50 parçalık partide beklenen kusur sayısı 2,5'tir; tam 2 kusurlu parça çıkma olasılığı 0,261101, en az bir kusurlu çıkma olasılığı ise 0,923055'tir.

P(X = 1) — başarı: 0,0500 · P(X = 0) — başarısızlık: 0,9500 · Ortalama (beklenen değer): 0,0500

Sıkça Sorulan Sorular

Bernoulli dağılımı ile binom dağılımı arasındaki fark nedir?
Bernoulli tek bir denemeyi, binom ise n bağımsız denemedeki toplam başarı sayısını modeller. Matematiksel olarak Bernoulli(p) = Binom(1; p)'dir. n bağımsız Bernoulli değişkeninin toplamı Binom(n; p) dağılır; bu yüzden ortalama p'den n·p'ye, varyans p(1−p)'den n·p(1−p)'ye çıkar. Bir yazı-tura atışı Bernoulli, on atıştaki tura sayısı binomdur.
Varyans neden p = 0,5'te en büyük?
Var(X) = p(1 − p) ifadesi p'ye göre bir ters parabol olduğundan tepe noktasını p = 0,5'te yapar ve 0,25 değerini alır; p uçlara (0 veya 1) yaklaştıkça sonuç giderek kesinleştiği için varyans sıfıra iner. Bu, oran için örneklem büyüklüğü hesaplarında p bilinmediğinde neden 0,5 varsayıldığını açıklar: en büyük varyans alınarak gerekli örneklem güvenli tarafta tutulur.
Bernoulli dağılımının entropisi ne anlama gelir?
Entropi, tek bir denemenin sonucundaki belirsizliği bit cinsinden ölçer. p = 0,5'te belirsizlik en yüksektir ve entropi tam 1 bit olur — sonucu bildirmek için bir bit gerekir. p uçlara gittikçe sonuç önceden tahmin edilebilir hâle gelir ve entropi sıfıra düşer; p = 0,05'te yalnızca 0,286 bittir. Bilgi kuramında ve karar ağaçlarındaki bilgi kazancı hesabında bu ölçü kullanılır.
Excel, R ve Python'da Bernoulli hesabı nasıl yapılır?
Bernoulli için ayrı bir fonksiyona gerek yoktur: P(X=1) = p, P(X=0) = 1−p doğrudan yazılır. Binom uzantısı için Excel'de `=BİNOM.DAĞ(k; n; p; YANLIŞ)` tam olasılığı, DOĞRU argümanı ise birikimli olasılığı verir. R'da `dbinom(k, n, p)` ve `pbinom(k, n, p)`, Python'da `scipy.stats.binom.pmf(k, n, p)` kullanılır. R'ın `rbinom(m, 1, p)` çağrısı doğrudan m adet Bernoulli denemesi üretir.
Çarpıklık ve basıklık değerlerini nasıl yorumlamalıyım?
Çarpıklık (1 − 2p)/√[p(1−p)] formülüyle hesaplanır: p < 0,5 iken pozitif (sağa çarpık), p > 0,5 iken negatif, p = 0,5 iken tam sıfırdır. Fazlalık basıklık p = 0,5'te −2 ile mümkün olan en küçük değerindedir; iki noktaya eşit kütle koyan bu dağılımdan daha basık bir dağılım yoktur. p uçlara yaklaştıkça her iki ölçü de hızla büyür: p = 0,05'te çarpıklık 4,13, basıklık 15,05 olur.
Bernoulli modeli ne zaman uygun değildir?
Denemeler bağımsız değilse veya başarı olasılığı denemeden denemeye değişiyorsa uygun değildir. Sonlu bir kitleden iadesiz çekiliş yapılıyorsa p her çekilişte değişir ve hipergeometrik dağılım gerekir. Aynı kişiden tekrarlanan ölçümler, kümelenmiş veriler veya öğrenme etkisi olan denemeler de bağımsızlık varsayımını bozar; bu durumlarda karışık etkili lojistik modeller veya beta-binom gibi aşırı yayılımı hesaba katan modeller tercih edilir.