Negatif Binom Dağılımı Hesaplama

İstatistikSon güncelleme: 22 Ağustos 2026

Negatif binom (Pascal) dağılımı, başarı olasılığı p olan bağımsız denemelerde önceden belirlenmiş r'inci başarıya ulaşana kadar geçen süreyi modeller. Binom dağılımının tersi bir kurulumdur: binomda deneme sayısı sabit ve başarı sayısı rastgeledir, negatif binomda başarı sayısı sabit ve deneme sayısı rastgeledir. Üçüncü satışa kadar kaç görüşme yapılacağı, beşinci sağlam parçaya kadar kaç hatalı parça çıkacağı ya da ikinci gol için kaç şut gerekeceği bu dağılımla incelenir.

Bu araç motorun tanımını doğrudan kullanır: X, r'inci başarıdan ÖNCE görülen BAŞARISIZLIK sayısıdır ve destek 0, 1, 2, … şeklindedir. Sonuçta P(X = k), kümülatif olasılıklar, seçtiğiniz aralığın olasılığı ile ortalama r(1 − p)/p, varyans r(1 − p)/p², standart sapma ve mod verilir. Ayrıca aynı sonucun 'toplam deneme sayısı' tanımına çevrilmiş hâli (deneme = k + r, ortalama deneme = r/p) ayrı olarak gösterilir; böylece hangi tanımı kullanan kaynakla karşılaşırsanız karşılaşın değeri doğrudan okuyabilirsiniz.

Kaçıncı başarıya kadar beklendiğini yazın. r = 1 seçilirse dağılım geometrik dağılıma indirgenir.
0 ile 1 arasında girin (yüzde 40 için 0,4). Ondalık ayırıcı olarak virgül kullanabilirsiniz.
r. başarıdan önce görülen başarısızlık adedi. Toplam deneme sayısı k + r olur.
P(a ≤ X ≤ b) için alt sınır. Boş bırakılırsa 0 kabul edilir.
P(a ≤ X ≤ b) için üst sınır. Boş bırakılırsa üst sınır sonsuz kabul edilir.

Negatif Binom Dağılımı Formülleri (başarısızlık sayısı tanımı)

Kütle fonksiyonu:  P(X = k) = C(k + r − 1, k) · pʳ · (1 − p)ᵏ,  k = 0, 1, 2, …
Tanım:             X = r. başarıdan ÖNCEKİ başarısızlık sayısı
Deneme karşılığı:  T = X + r  →  P(T = t) = C(t − 1, r − 1) · pʳ · (1 − p)ᵗ⁻ʳ
Kümülatif:         P(X ≤ k) = Iₚ(r, k + 1)   (düzenlenmiş eksik beta)
Üst kuyruk:        P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1)
Ortalama:          μ = r(1 − p) / p        (deneme tanımında r / p)
Varyans:           σ² = r(1 − p) / p²      (her iki tanımda aynı)
Standart sapma:    σ = √[r(1 − p)] / p
Mod:               ⌊(r − 1)(1 − p) / p⌋,  r > 1 için;  r = 1 için 0
Özel hâl:          r = 1 → geometrik dağılım

Kümülatif olasılık toplama döngüsü yerine düzenlenmiş eksik beta fonksiyonuyla hesaplanır; bu sayede r ve k büyüdüğünde de sonuç kesindir. Formüldeki r tam sayı olmak zorunda olmasa da (Polya dağılımı) bu araç tam sayı r ile çalışır.

Nasıl Hesaplanır?

  1. Hedeflediğiniz başarı sayısını (r) girin: kaçıncı başarıya kadar beklediğinizi yazın.
  2. Tek denemedeki başarı olasılığını (p) 0 ile 1 arasında girin; yüzde 40 için 0,4 yazın.
  3. Olasılığını merak ettiğiniz başarısızlık sayısını (k) girin; toplam deneme sayısı otomatik olarak k + r şeklinde gösterilir.
  4. İsterseniz aralık sınırlarını (a ve b) belirleyin; üst sınırı boş bırakırsanız P(X ≥ a) hesaplanır.
  5. Sonuçta hem başarısızlık sayısı tanımına hem de toplam deneme tanımına göre değerleri okuyun; iki tanımı karıştırmamak için tablodaki 'Toplam deneme' sütununu kullanın.
  6. Kütle grafiğinde dağılımın sağa çarpıklığını ve modun ortalamadan küçük olduğunu gözlemleyin.

Örnek Hesaplamalar

3. başarıdan önce 4 başarısızlık

r = 3 ve p = 0,4 iken 3. başarıdan önce tam 4 başarısızlık görülme olasılığı P(X = 4) = 0,1244'tür; bu, 3. başarının tam 7. denemede gelmesi demektir. En çok 4 başarısızlıkla hedefe ulaşma olasılığı 0,5801; P(2 ≤ X ≤ 6) = 0,5890 çıkar. Ortalamada 4,5 başarısızlık, yani toplam 7,5 deneme beklenir; standart sapma 3,3541 ve mod 2'dir.

Tam 4 başarısızlık — P(X = 4): 0,1244 · En çok 4 başarısızlık — P(X ≤ 4): 0,5801 · 4 değerinden az — P(X < 4): 0,4557

r = 1: geometrik dağılıma indirgeme

r = 1 seçildiğinde dağılım geometrik olur. p = 0,25 iken ilk başarıdan önce tam 3 başarısızlık olasılığı P(X = 3) = 0,1055'tir; yani ilk başarı 4. denemede gelir. P(0 ≤ X ≤ 5) = 0,8220 ve ortalamada 3 başarısızlık, toplam 4 deneme beklenir. Mod 0'dır: en olası sonuç ilk denemede başarıdır.

Tam 3 başarısızlık — P(X = 3): 0,1055 · En çok 3 başarısızlık — P(X ≤ 3): 0,6836 · 3 değerinden az — P(X < 3): 0,5781

5. satış için görüşme sayısı

Görüşme başına satış olasılığı %20 olan bir temsilcinin 5. satıştan önce tam 20 başarısız görüşme yapma olasılığı P(X = 20) = 0,0392'dir (toplam 25 görüşme). En çok 20 başarısızlıkla hedefe ulaşma olasılığı 0,5793'tür. Ortalamada 20 başarısızlık, yani toplam 25 görüşme beklenir; standart sapma 10 ve P(15 ≤ X ≤ 30) = 0,5298 bulunur.

Tam 20 başarısızlık — P(X = 20): 0,0392 · En çok 20 başarısızlık — P(X ≤ 20): 0,5793 · 20 değerinden az — P(X < 20): 0,5401

Sıkça Sorulan Sorular

Negatif binom dağılımında X neyi sayar: denemeleri mi başarısızlıkları mı?
İki tanım da yaygındır ve karıştırılırsa sonuç yanlış okunur. Bu araç motorun tanımını kullanır: X, r. başarıdan önceki BAŞARISIZLIK sayısıdır ve destek 0'dan başlar, ortalama r(1 − p)/p'dir. Toplam deneme tanımında destek r'den başlar ve ortalama r/p olur; aradaki ilişki Deneme = Başarısızlık + r şeklindedir. Araç her iki değeri de birlikte gösterir.
Binom dağılımından farkı nedir?
Binom dağılımında deneme sayısı n sabittir ve başarı sayısı rastgeledir. Negatif binomda ise başarı sayısı r sabittir, kaç deneme gerektiği rastgeledir. İki dağılım aynı Bernoulli denemelerini farklı yönden okur; bu yüzden 'durma kuralı' farklıdır ve aynı veri iki farklı olasılık modeli verir.
Neden 'negatif' binom deniyor?
Ad, kütle fonksiyonundaki katsayının negatif üslü bir binom açılımından (Newton'un genelleştirilmiş binom teoremi) gelmesinden kaynaklanır: (1 − q)^(−r) açılımının terimleri tam olarak bu olasılıkları verir. Dağılımın kendisinde negatif bir büyüklük yoktur; ad tamamen cebirsel kökenlidir. Pascal dağılımı adı da (r tam sayı olduğunda) aynı dağılım için kullanılır.
Excel, SPSS ve R'de nasıl hesaplanır?
Excel'de =NEGBİNOM.DAĞ(k; r; p; YANLIŞ) tam olasılığı, DOĞRU bayrağı kümülatifi verir ve başarısızlık sayısı tanımını kullanır. R'de dnbinom(k, r, p) ve pnbinom(k, r, p) aynı tanımı esas alır. Python'da scipy.stats.nbinom.pmf(k, r, p) de başarısızlık sayısını sayar. SPSS'te PDF.NEGBIN(t, r, p) fonksiyonu toplam deneme sayısını kullandığı için t = k + r yazmanız gerekir.
Sayım verisinde Poisson yerine neden negatif binom kullanılır?
Poisson dağılımı ortalama ile varyansın eşit olmasını gerektirir. Gerçek sayım verilerinde varyans çoğu zaman ortalamadan büyüktür (aşırı yayılım); bu durumda Poisson regresyonu standart hataları olduğundan küçük tahmin eder ve yanlış anlamlı sonuçlar üretir. Negatif binom fazladan bir dağılım parametresi taşıdığı için bu fazlalık değişkenliği modelleyebilir ve daha güvenilir p değerleri verir.
r = 1 seçersem ne olur?
Dağılım geometrik dağılıma indirgenir: P(X = k) = p·(1 − p)^k olur ve ilk başarıdan önceki başarısızlık sayısı modellenir. Ortalama (1 − p)/p, toplam deneme ortalaması ise 1/p'dir. Yalnızca ilk başarıyla ilgileniyorsanız geometrik dağılım hesaplayıcısını kullanmak daha doğrudan bir yol olur.
Modun ortalamadan küçük olması normal mi?
Evet. Negatif binom dağılımı sağa çarpıktır: uzun sağ kuyruk ortalamayı yukarı çeker, en yüksek olasılıklı değer (mod) ise solda kalır. Bu nedenle 'ortalamada 7,5 deneme gerekir' ifadesi tipik senaryoyu değil, uzun vadeli aritmetik ortalamayı anlatır. Raporlamada mod, medyan ve kuyruk olasılıklarını birlikte vermek daha bilgilendiricidir.