Hipergeometrik Dağılım Hesaplama
Hipergeometrik dağılım, sonlu bir kitleden iadesiz (geri koymadan) çekilen örnekte kaç 'başarı' bulunacağını modeller. N birimlik bir kitlede K tane ilgilenilen birim varsa ve buradan n birim çekiliyorsa, örnekteki başarı sayısı X hipergeometrik dağılır. Kutudan top çekme, denetimde partiden numune alma, iskambil destesinden kart çekme ve seçim öncesi anket örnekleri bu modele uyar.
Binom dağılımından tek farkı bağımsızlık varsayımıdır: her çekilişte kitle küçüldüğü için başarı olasılığı değişir, denemeler bağımsız değildir. Bu araç P(X = k), P(X ≤ k), P(X ≥ k) ve seçtiğiniz [a, b] aralığının olasılığını hesaplar; ortalama nK/N, sonlu kitle düzeltmesi içeren varyans, standart sapma ve modu döndürür; ayrıca aynı senaryonun binom yaklaşımıyla ne kadar örtüştüğünü karşılaştırmalı olarak gösterir.
Hipergeometrik Dağılım Formülleri
Kütle fonksiyonu: P(X = k) = [C(K, k) · C(N − K, n − k)] / C(N, n) Destek: max(0, n + K − N) ≤ k ≤ min(n, K) Kümülatif: P(X ≤ k) = Σᵢ P(X = i) Üst kuyruk: P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1) Ortalama: μ = n · K / N Varyans: σ² = n · (K/N) · (1 − K/N) · (N − n) / (N − 1) Sonlu kitle düz.: (N − n) / (N − 1) Mod: ⌊(n + 1)(K + 1) / (N + 2)⌋ Binom yaklaşımı: n / N ≤ 0,05 iken X ≈ Binom(n, K/N)
Hipergeometrik dağılımın kümülatif fonksiyonunun kapalı biçimi yoktur; destek sonlu olduğu için olasılıklar yakın kuyruktan toplanarak hesaplanır. Büyük N değerlerinde kombinasyonlar taşmayı önlemek üzere logaritmik uzayda değerlendirilir.
Nasıl Hesaplanır?
- Kitle büyüklüğünü (N) girin: çekimin yapıldığı toplam birim sayısı.
- Kitledeki başarı sayısını (K) girin: ilgilendiğiniz özelliği taşıyan birim adedi.
- İadesiz olarak çektiğiniz örnek büyüklüğünü (n) ve olasılığını merak ettiğiniz başarı sayısını (k) yazın.
- İsterseniz aralık sınırlarını (a ve b) girin; araç P(a ≤ X ≤ b) değerini de hesaplar.
- Tam ve kümülatif olasılıkların yanında ortalama, sonlu kitle düzeltmeli varyans ve modu okuyun.
- Örnekleme oranını (n/N) kontrol edin: %5'in altındaysa binom yaklaşımı da kullanılabilir; tablodaki son sütun iki değeri karşılaştırır.
Örnek Hesaplamalar
50 üründen 10 numune: 3 kusurlu çıkması
50 ürünlük partide 12 kusurlu varken çekilen 10 numunede tam 3 kusurlu bulunma olasılığı P(X = 3) = 0,2703 çıkar. En çok 3 kusurlu olasılığı 0,8209; en az 3 kusurlu olasılığı 0,4493 olur. P(2 ≤ X ≤ 5) = 0,7562; ortalama 2,4 kusurlu ve sonlu kitle düzeltmeli standart sapma 1,2202 bulunur. Örnekleme oranı %20 olduğu için binom yaklaşımı uygun değildir.
Tam 3 başarı — P(X = 3): 0,2703 · En çok 3 başarı — P(X ≤ 3): 0,8209 · 3 değerinden az — P(X < 3): 0,5507
İskambil: 5 kartta 2 kupa gelmesi
52 kartlık desteden çekilen 5 kartta tam 2 kupa bulunma olasılığı P(X = 2) = 0,2743'tür. En çok 2 kupa olasılığı 0,9072; 1 ile 3 arasında kupa gelme olasılığı P(1 ≤ X ≤ 3) = 0,7672 olur. Ortalama 1,25 kupa beklenir; standart sapma 0,9295 çıkar. Örnekleme oranı %9,62 olduğu için binom yaklaşımı (0,2637) tam değerden sapar.
Tam 2 başarı — P(X = 2): 0,2743 · En çok 2 başarı — P(X ≤ 2): 0,9072 · 2 değerinden az — P(X < 2): 0,6330
Büyük kitle: binom yaklaşımının geçerli olduğu durum
10.000 birimlik kitlede 500 başarı varken 100 birimlik örnekte tam 5 başarı olasılığı P(X = 5) = 0,1809 çıkar; aynı olasılığın binom yaklaşımı 0,1800 olup mutlak fark yalnızca 0,0009 kadardır. Örnekleme oranı n/N = %1 ≤ %5 olduğundan yaklaşım güvenle kullanılabilir. Ortalama 5 başarı, standart sapma 2,1686 ve P(3 ≤ X ≤ 7) = 0,7561 bulunur.
Tam 5 başarı — P(X = 5): 0,1809 · En çok 5 başarı — P(X ≤ 5): 0,6160 · 5 değerinden az — P(X < 5): 0,4351