Geometrik Dağılım Hesaplama
Geometrik dağılım, başarı olasılığı p olan bağımsız denemelerde ilk başarının kaçıncı denemede geleceğini modeller. Bu araç yaygın ders kitabı tanımını kullanır: X, ilk başarı elde edilene kadar yapılan TOPLAM DENEME SAYISI'dır ve destek 1, 2, 3, … şeklindedir (başarının kendisi de sayılır). Bir zarda ilk 6'nın kaçıncı atışta geleceği, bir satış temsilcisinin kaçıncı görüşmede ilk satışı yapacağı ya da bir makinenin kaçıncı çevrimde ilk kez arızalanacağı bu dağılımla incelenir.
Araç tam olasılık P(X = k), kümülatif olasılık P(X ≤ k), üst kuyruk P(X > k) = (1 − p)^k, seçtiğiniz [a, b] aralığının olasılığı ile ortalama (1/p), varyans ((1 − p)/p²), standart sapma, mod ve medyanı birlikte döndürür. Geometrik dağılımın en dikkat çekici özelliği hafızasızlıktır: geçmişte kaç kez başarısız olduğunuz, bundan sonraki denemelerin olasılığını değiştirmez.
Geometrik Dağılım Formülleri (deneme sayısı tanımı)
Kütle fonksiyonu: P(X = k) = (1 − p)ᵏ⁻¹ · p, k = 1, 2, 3, … Kümülatif: P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)ᵏ Üst kuyruk: P(X > k) = (1 − p)ᵏ En az k deneme: P(X ≥ k) = (1 − p)ᵏ⁻¹ Aralık: P(a ≤ X ≤ b) = (1 − p)ᵃ⁻¹ − (1 − p)ᵇ Ortalama: μ = 1 / p Varyans: σ² = (1 − p) / p² Standart sapma: σ = √(1 − p) / p Mod: 1 (en yüksek olasılık daima ilk denemededir) Medyan: ⌈ln(0,5) / ln(1 − p)⌉ Hafızasızlık: P(X > m + n | X > m) = P(X > n)
Alternatif tanımda X, ilk başarıdan önceki başarısızlık sayısıdır (destek 0, 1, 2, …) ve ortalama (1 − p)/p olur. Bu araç deneme sayısı tanımını kullanır; iki tanım arasında geçiş Y = X − 1 ile yapılır ve varyans her iki tanımda da (1 − p)/p²'dir.
Nasıl Hesaplanır?
- Tek denemedeki başarı olasılığını (p) 0 ile 1 arasında girin; yüzde 20 için 0,2 yazın.
- İlk başarının kaçıncı denemede geleceğini merak ettiğiniz deneme sayısını (k) girin; en küçük değer 1'dir.
- İsterseniz aralık sınırlarını (a ve b) belirleyin; üst sınırı boş bırakırsanız P(X ≥ a) hesaplanır.
- Tam, kümülatif ve üst kuyruk olasılıklarını okuyun: P(X > k) doğrudan ilk k denemenin tamamının başarısız olma olasılığıdır.
- Ortalama (1/p), medyan ve standart sapmayı birlikte değerlendirin; dağılım sağa çarpık olduğu için ortalama tek başına yeterli değildir.
- Kütle grafiğinde olasılığın k büyüdükçe geometrik hızla azaldığını ve en yüksek çubuğun daima k = 1'de olduğunu görün.
Örnek Hesaplamalar
Başarı olasılığı %20: ilk başarı 5. denemede
p = 0,2 iken ilk başarının tam 5. denemede gelme olasılığı P(X = 5) = 0,0819'dur. En çok 5 denemede başarı olasılığı 0,6723; ilk 5 denemenin tamamının başarısız olma olasılığı (0,8)⁵ = 0,3277'dir. Ortalamada 5 deneme gerekir, standart sapma 4,4721, medyan 4 denemedir ve P(3 ≤ X ≤ 8) = 0,4722 çıkar.
İlk başarı tam 5. denemede — P(X = 5): 0,0819 · En çok 5 deneme — P(X ≤ 5): 0,6723 · 5 değerinden az — P(X < 5): 0,5904
Zarda ilk 6: kaçıncı atışta gelir?
Hilesiz zarda 6 gelme olasılığı p ≈ 0,1667'dir. İlk 6'nın tam 3. atışta gelme olasılığı P(X = 3) = 0,1157'dir. İlk 6 atışın hiçbirinde 6 gelmemesi olasılığı 0,3349 olduğundan altı atışta en az bir 6 görme olasılığı P(1 ≤ X ≤ 6) = 0,6651'dir. Beklenen atış sayısı 6, medyan ise 4 atıştır.
İlk başarı tam 3. denemede — P(X = 3): 0,1157 · En çok 3 deneme — P(X ≤ 3): 0,4213 · 3 değerinden az — P(X < 3): 0,3056
Yüksek başarı olasılığı: p = 0,6
p = 0,6 iken ilk denemede başarı olasılığı P(X = 1) = 0,6000'dır ve bu dağılımın modudur. İlk 3 denemede başarı olasılığı P(1 ≤ X ≤ 3) = 0,9360'tır. Ortalama 1,6667 deneme, standart sapma 1,0541 ve medyan 1 denemedir.
İlk başarı tam 1. denemede — P(X = 1): 0,6000 · En çok 1 deneme — P(X ≤ 1): 0,6000 · 1 değerinden az — P(X < 1): 0