Friedman Testi Hesaplama
Friedman testi, aynı deneklerin (ya da aynı blokların) üç veya daha fazla koşulda ölçüldüğü tekrarlı ölçüm tasarımlarında koşulları karşılaştırır. Tekrarlı ölçümler ANOVA'sının parametrik olmayan karşılığıdır: normallik ve küresellik (sphericity) varsayımlarına ihtiyaç duymaz, çünkü her deneğin ölçümleri yalnızca kendi içinde sıralanır.
Bu araç her satırın bir deneği, her sütunun bir koşulu temsil ettiği matrisi alır; satır içi sıraları hesaplar, koşul sıra toplamlarından Q istatistiğini üretir, satır içi bağlar için düzeltme uygular ve ki-kare dağılımından p değerini bulur. Ayrıca deneklerin sıralamalarındaki uyumu gösteren Kendall W katsayısını, sıra matrisinin tamamını, koşul ortancalarını ve anlamlı sonuçta Bonferroni düzeltmeli ikili Wilcoxon karşılaştırmalarını verir.
Friedman Testi Formülleri
Sıralama: Her satır (denek) kendi içinde sıralanır; bağlara ortalama sıra Sıra toplamı: Rⱼ = Σᵢ rᵢⱼ (j. koşulun tüm deneklerdeki sıra toplamı) Test istatistiği: Q = [12·ΣRⱼ² − 3n²k(k+1)²] / [n·k·(k+1)] Bağ düzeltmesi: Payda = n·k·(k+1) − Σ(t³ − t)/(k − 1) Serbestlik der.: sd = k − 1 p değeri: p = P(χ²_sd > Q) Kendall W: W = Q / [n(k − 1)] , 0 ≤ W ≤ 1 Beklenen sıra: R̄ⱼ = (k + 1)/2 (H₀ altında)
Friedman testi yalnızca satır içi sıraları kullandığı için denekler arasındaki genel düzey farkları (bazı deneklerin sürekli yüksek, bazılarının sürekli düşük puan alması) sonucu etkilemez. Ki-kare yaklaşımı n ≥ 10 ve k ≥ 3 iken kabul edilir. k = 2 durumunda test işaret testine indirgenir; bu tasarımda Wilcoxon işaretli sıralar testi tercih edilmelidir.
Nasıl Hesaplanır?
- Her deneğin tüm koşullardaki ölçümlerini tek bir satıra, koşul sırasına uygun biçimde yazın.
- Tüm satırlarda aynı sayıda değer bulunduğundan emin olun; eksik ölçümü olan deneği tamamen çıkarın.
- Koşul adlarını virgülle ayırarak girin; sütun sayısıyla eşleşirse tablolarda ve yorumda bu adlar kullanılır.
- Anlamlılık düzeyini (α) seçin; ikili karşılaştırmalar bu düzeyin Bonferroni ile bölünmüş hâline göre değerlendirilir.
- Q, serbestlik derecesi ve p değerini okuduktan sonra Kendall W'ye bakın: W, deneklerin koşulları ne ölçüde aynı yönde sıraladığını gösterir.
- Sıra matrisi tablosunda hangi deneklerin genel örüntüden ayrıldığını inceleyin ve anlamlı sonuçta Bonferroni düzeltmeli ikili Wilcoxon karşılaştırmalarını raporlayın.
Örnek Hesaplamalar
Üç zaman noktasında tekrarlı ölçüm
10 deneğin sıra toplamları 10, 21 ve 29'dur; ortalama sıralar 1,00, 2,10 ve 2,90 ile beklenen 2,00 değerinden belirgin biçimde ayrışır. Q(2) = 18,200; p < 0,001 ile koşullar arasındaki fark anlamlıdır. Kendall W = 0,910 ile denekler koşulları neredeyse tamamen aynı yönde sıralamıştır.
Q test istatistiği (Friedman χ²): 18,200 · Serbestlik derecesi (sd): 2 · p değeri: p < 0,001
Dört ürün, hakem değerlendirmeleri — fark yok
Sekiz hakemin dört ürüne verdiği puanlarda sıra toplamları 18, 22, 20 ve 20 ile birbirine çok yakındır; ortalama sıralar beklenen 2,5 değerinin çevresinde kalır. Her hakemin satırında eşit puanlar bulunduğu için Σ(t³ − t) = 96 düzeltmesi uygulanır: düzeltilmemiş Q = 0,600 iken düzeltilmiş Q(3) = 0,750; p = 0,861 çıkar. Kendall W = 0,031 ile hakemler arasında uyum yok denecek kadar zayıftır, yani ürünler ayırt edilememiştir.
Q test istatistiği (Friedman χ²): 0,750 · Serbestlik derecesi (sd): 3 · p değeri: p = 0,861
Altı denek, üç ilaç dozu — küçük örneklem
Altı deneğin tamamında ölçüm plasebodan yüksek doza doğru düşmüştür: sıra toplamları 18, 12 ve 6, ortalama sıralar 3,00, 2,00 ve 1,00'dir. Q(2) = 12,000; p = 0,002 ile fark anlamlı, Kendall W = 1,000 ile uyum tamdır. Denek sayısı 10'un altında olduğundan araç uyarı gösterir ve tam Friedman tablosuyla doğrulama önerir.
Q test istatistiği (Friedman χ²): 12,000 · Serbestlik derecesi (sd): 2 · p değeri: p = 0,002