Welch ANOVA Hesaplama

İstatistikSon güncelleme: 22 Ağustos 2026

Klasik tek yönlü ANOVA, tüm grupların kitle varyanslarının eşit olduğunu varsayar. Bu varsayım bozulduğunda — özellikle grup büyüklükleri de dengesizken — F testi ya çok fazla yanlış pozitif üretir ya da gerçek farkları kaçırır. Welch ANOVA bu sorunu, her grubu varyansının tersiyle ağırlıklandırarak ve serbestlik derecelerini düzelterek çözer; varyans homojenliği koşulunu tamamen ortadan kaldırır.

Bu araç her satıra bir grubun verilerini yapıştırdığınızda Welch F istatistiğini, düzeltilmiş sd₁ ve sd₂ değerlerini, p değerini ve kritik F'yi hesaplar; aynı veri üzerinde klasik ANOVA'yı ve Brown–Forsythe (medyan merkezli Levene) varyans homojenliği testini de çalıştırıp sonuçları yan yana koyar. Böylece hangi testin raporlanması gerektiğini kanıtla birlikte görürsünüz. Grup özet tablosu, ortalamaların güven aralıkları ve kutu grafiği yorumu tamamlar.

Her satıra bir grubun tüm değerlerini yazın. Satır başına "Ad: değerler" biçiminde etiket verebilirsiniz. En az 2 grup ve her grupta en az 2 değer gerekir; grup büyüklükleri eşit olmak zorunda değildir.
Yanlış pozitif riskini belirler. Sosyal bilimlerde yaygın seçim %5'tir.

Welch ANOVA Formülleri

Grup ağırlığı:        wⱼ = nⱼ / sⱼ²
Ağırlıklı ortalama:   x̃ = Σ wⱼ x̄ⱼ / Σ wⱼ
Pay:                  A = Σ wⱼ (x̄ⱼ − x̃)² / (k − 1)
Λ:                    Λ = Σ (1 − wⱼ/Σwⱼ)² / (nⱼ − 1)
Payda:                B = 1 + [2(k − 2) / (k² − 1)] · Λ
Test istatistiği:     F* = A / B
Serbestlik dereceleri: sd₁ = k − 1 ,  sd₂ = (k² − 1) / (3Λ)
Etki büyüklüğü:       η² = KT_arası / KT_toplam ,  ω² = (KT_arası − sd₁·KO_içi) / (KT_toplam + KO_içi)

Welch (1951) yaklaşımında her grup varyansının tersiyle ağırlıklandırılır: değişkenliği yüksek gruplar sonucu daha az etkiler. Payda serbestlik derecesi kesirli çıkar ve grup varyansları ile büyüklükleri ne kadar dengesizse o kadar küçülür. Varyanslar tam olarak eşit olduğunda pay terimi A klasik ANOVA F'sine eşitlenir, ancak Welch F yine de B'ye bölünür (F* = A / B); grup büyüklükleri arttıkça Λ ve dolayısıyla B − 1 küçüldüğü için iki istatistik birbirine yakınsar, birebir çakışmaz.

Nasıl Hesaplanır?

  1. Her grubun verilerini ayrı bir satıra yazın; isterseniz satır başına "Ad: değerler" biçiminde grup adı verin.
  2. Anlamlılık düzeyini (α) seçin; güven aralıkları otomatik olarak 1 − α düzeyinde hesaplanır.
  3. Önce Brown–Forsythe satırına bakın: p < 0,05 ise varyans homojenliği bozulmuştur ve Welch sonucu raporlanmalıdır.
  4. Welch F, düzeltilmiş serbestlik dereceleri ve p değerini okuyun; kesirli sd₂ değeri normaldir, olduğu gibi raporlanır.
  5. Klasik ANOVA satırıyla karşılaştırın; iki testin kararı ayrışıyorsa bunu yöntem bölümünde açıklayın.
  6. Kutu grafiğinde grupların yayılımını inceleyin ve anlamlı sonuçta Games–Howell gibi varyans eşitliği gerektirmeyen bir post-hoc test uygulayın.

Örnek Hesaplamalar

Üç öğretim yöntemi, dengesiz varyanslar

Ortalamalar 62,88, 65,25 ve 68,50; varyanslar ise 4,13, 91,07 ve 2,57 ile birbirinden çok farklıdır (en büyük/en küçük oran 35,42). Welch F(2; 12,37) = 17,982; p < 0,001 ile fark anlamlıdır. Klasik ANOVA aynı veride F(2, 21) = 1,957; p = 0,166 vererek farkı kaçırır — varyans homojenliği bozulduğunda iki testin nasıl ayrıştığının tipik örneğidir.

Welch F istatistiği: 17,982 · Serbestlik derecesi — pay (sd₁): 2 · Serbestlik derecesi — payda (sd₂): 12,37

Varyanslar homojen — iki test aynı karara varıyor

Üç grubun ortalamaları 21,00, 26,00 ve 31,00; varyansları 1,714 ile tamamen aynıdır. Varyanslar birebir eşit olsa bile iki test aynı sayıyı vermez: pay terimi A = 116,667 klasik F ile çakışır, ancak B = 1,0476 düzeltmesi bölündükten sonra Welch F(2; 14,00) = 111,364 kalırken klasik ANOVA F(2, 21) = 116,667 verir. İkisi de p < 0,001 ile aynı karara ulaşır. Brown–Forsythe testi p = 1,000 ile homojenliği doğrular; η² = 0,917 ile etki çok büyüktür.

Welch F istatistiği: 111,364 · Serbestlik derecesi — pay (sd₁): 2 · Serbestlik derecesi — payda (sd₂): 14,00

Dengesiz grup büyüklükleri, anlamsız fark

Ortalamalar 50,00, 50,20 ve 50,40 ile neredeyse aynıdır; buna karşılık varyanslar 60,00, 1,73 ve 83,30 gibi çok farklıdır. Welch F(2; 6,08) = 0,003; p = 0,997 ile gruplar arasında fark yoktur; klasik ANOVA da F(2, 18) = 0,006; p = 0,994 ile aynı karara varır. η² = 0,001 ile etki ihmal edilebilir düzeydedir — varyans farkı tek başına ortalama farkı anlamına gelmez.

Welch F istatistiği: 0,003 · Serbestlik derecesi — pay (sd₁): 2 · Serbestlik derecesi — payda (sd₂): 6,08

Sıkça Sorulan Sorular

Welch ANOVA'yı ne zaman klasik ANOVA'ya tercih etmeliyim?
Varyans homojenliği testi anlamlı çıktığında, grup varyansları arasındaki oran 4'ü aştığında ya da grup büyüklükleri dengesizken Welch tercih edilmelidir. Aslında birçok metodoloji kaynağı, ön test yapmadan doğrudan Welch kullanmayı önerir: varyanslar gerçekten eşitse Welch neredeyse hiç güç kaybettirmez, eşit değilse ise klasik ANOVA'nın hata oranını düzeltir. Ön teste bakıp test seçmek toplam birinci tip hata oranını bozar.
Serbestlik derecesi neden ondalıklı çıkıyor?
Welch yaklaşımı, grup varyanslarının ağırlıklı birleşiminin dağılımını bir F dağılımıyla yaklaşık olarak temsil eder. Bu yaklaşımın en iyi uyum verdiği payda serbestlik derecesi genellikle tam sayı değildir; Satterthwaite'in aynı mantığı Welch t testinde de kesirli sd üretir. Ondalıklı değer bir hata değildir ve raporlarda olduğu gibi, genellikle iki ondalık basamakla yazılır.
Welch ANOVA anlamlı çıkarsa hangi post-hoc testi kullanmalıyım?
Tukey HSD varyans eşitliği varsaydığı için uygun değildir. Bu durumda Games–Howell testi standarttır: her ikili karşılaştırmada Welch tipi standart hata ve düzeltilmiş serbestlik derecesi kullanır. Alternatif olarak Dunnett T3 ya da bu araçtaki gibi Bonferroni düzeltmeli Welch t karşılaştırmaları da kabul edilir; Bonferroni daha muhafazakâr, dolayısıyla daha az güçlüdür.
Welch ANOVA normallik varsayımını da ortadan kaldırır mı?
Hayır. Welch düzeltmesi yalnızca varyans homojenliği varsayımını gevşetir; gruplar içi normallik varsayımı sürer. Grup başına n 20'nin üzerindeyse merkezi limit teoremi sayesinde orta düzey sapmalar sorun yaratmaz. Küçük ve belirgin çarpık gruplarda Kruskal–Wallis H testi ya da yeniden örnekleme (bootstrap) temelli yöntemler daha güvenilirdir.
Etki büyüklüğü olarak ne raporlamalıyım?
Welch F'ye özgü standart bir etki büyüklüğü yoktur; alan yazında klasik kareler toplamlarından hesaplanan η² ya da yanlılığı düzeltilmiş ω² raporlanır. η² örneklemdeki açıklanan varyans oranıdır ve küçük örneklemlerde kitle etkisini abartır; ω² bu yanlılığı düzeltir ve tercih edilebilir. Eşikler her ikisi için de benzerdir: 0,01 küçük, 0,06 orta, 0,14 büyük.
SPSS ve R'da Welch ANOVA nasıl elde edilir?
SPSS'te One-Way ANOVA penceresinde Options bölümünden 'Welch' kutusu işaretlenir; çıktıda 'Robust Tests of Equality of Means' tablosunda görünür. R'da oneway.test(y ~ grup, var.equal = FALSE) doğrudan aynı F, sd₁, sd₂ ve p değerini verir. Excel'de hazır bir fonksiyon yoktur; ağırlıklar ve Λ terimi elle kurulmalıdır.
İki grupla Welch ANOVA yapılabilir mi?
Evet ve sonucu Welch t testiyle birebir tutarlıdır: iki grupta Welch F, Welch t değerinin karesine eşittir ve p değerleri aynı çıkar. Yine de iki grup karşılaştırmasında alan yazın standardı Welch t testini raporlamaktır, çünkü farkın yönünü ve güven aralığını doğrudan sunar. Welch ANOVA asıl değerini üç ve daha fazla grupta gösterir.